Яка висота трапеції, якщо коло, вписане в неї, розділяє більшу бічну сторону на два відрізки довжиною 4 см і

Zvezdopad_Feya

67

Коло, вписанное в трапецию, является вписанным кругом, который касается всех сторон трапеции. Обозначим вершины трапеции как A, B, C и D, где AB и CD - параллельные стороны, а AC и BD - непараллельные стороны (большая и меньшая боковые стороны соответственно).

Пусть точка касания круга с боковой стороной AC находится на расстоянии x от вершины A, а точка касания с боковой стороной BD находится на расстоянии y от вершины B. Также обозначим точку касания круга с боковой стороной AB как E и точку касания круга с боковой стороной CD как F.

Так как круг касается всех сторон трапеции, то линии, соединяющие центр круга с точками касания, являются радиусами круга и перпендикулярны к соответствующим сторонам трапеции. Пометим центр круга как O.

Обратимся к треугольнику AEO. Он является равнобедренным треугольником, так как AE = EO (радиус круга) и угол AEO равен 90 градусам (потому что радиус перпендикулярен к стороне AE). Точно так же, треугольник BFO также является равнобедренным треугольником.

Обозначим высоту трапеции, то есть расстояние между параллельными сторонами AB и CD, как h.

В треугольнике AEO мы можем применить теорему Пифагора:

\[AE^2 = AO^2 + EO^2\]
\[AE^2 = ( h - x )^2 + r^2 \]

где r - радиус круга.

То же самое можно сделать и для треугольника BFO:

\[BF^2 = BO^2 + FO^2\]
\[BF^2 = ( h - y )^2 + r^2 \]

Так как мы знаем, что AE + BF = AB (потому что это большая боковая сторона трапеции), то мы можем записать следующее уравнение:

\[AE + BF = AB\]
\[( h - x ) + ( h - y ) = AB \]
\[2h = AB + x + y\]

Но мы также знаем, что x + y равняется длине большей боковой стороны, которую в задаче назвали AB и которая имеет длину 4 см. Таким образом, мы получаем:

\[2h = 4 + x + y\]

Теперь у нас есть два уравнения: одно для треугольника AEO и одно для треугольника BFO. Мы можем объединить эти уравнения, чтобы решить задачу.

\[h = \frac{{AB + x + y}}{2}\]
\[h = \frac{{4 + x + y}}{2}\]

Таким образом, чтобы найти высоту трапеции, мы можем найти значения x и y и подставить их в уравнение.