Яке значення має ребро куба? Обчисліть площу перетину куба площиною, яка проходить через вершину основи під кутом

Sokol_615

28

Ребро куба в данной задаче обозначим за \(a\), где \(a\) - длина ребра. Чтобы определить значение \(a\), нам необходимы дополнительные данные.

Теперь рассмотрим площадь пересечения куба плоскостью, проходящей через вершину основы под углом 60 градусов к этой основе и пересекающейся с каждым боковым ребром.

Куб имеет 6 граней, и каждая грань - основа равностороннего треугольника с ребром длиной \(a\). Если плоскость пересекает вершину основы этого треугольника, то она будет пересекать каждую из 3 сторон основы под углом 60 градусов.

Построим плоскость, проходящую через эту вершину (порядковое обозначение вершин соответствует обозначению осей координат x, y, z). Обозначим вершину основы куба через \(A\), а ее координаты как \((0, 0, 0)\). Угол 60 градусов означает, что плоскость будет проходить по оси \(z\) и пересекать с каждым ребром основы под этим углом. Пусть \(AB=a\), \(AC=a\), \(AD=a\) - это ребра основы куба, и пусть \(AE=a\) - ребро куба, перпендикулярное этой основе и опирающееся на точку \(A\).

Обозначим точку пересечения плоскости с ребром \(AB\) как \(B"\), с ребром \(AC\) как \(C"\), с ребром \(AD\) как \(D"\), а точку пересечения плоскости с ребром \(AE\) обозначим \(E"\).

Очевидно, что треугольники \(AA"B"\), \(AA"C"\), \(AA"D"\) и \(AA"E"\) - равносторонние треугольники.

Таким образом, сторона равностороннего треугольника \(AA"B"\) равна \(a\), так как это ребро куба. Аналогично, сторона равносторонних треугольников \(AA"C"\), \(AA"D"\) и \(AA"E"\) также равна \(a\).

Теперь рассмотрим треугольник \(A"B"E"\). Это тоже равносторонний треугольник, так как все его стороны равны \(a\).

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить, зная длину стороны. В случае треугольника \(A"B"E"\) его площадь будет равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{4}a^2\).

Таким образом, площадь пересечения куба плоскостью, проходящей через вершину основы под углом 60 градусов к этой основе и пересекающейся с каждым боковым ребром, будет равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{4}a^2\).