Які два натуральні числа мають суму 6, а сума їх взаємно обернених чисел дорівнює 3/4? Знайдіть ці числа

Alina

58

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть первое число обозначается символом \(x\), а второе число — символом \(y\).
Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 6, поэтому можем записать уравнение:
\[x + y = 6 \quad \text{(1)}\]

Также условие говорит о том, что сумма взаимно обратных чисел равна \(\frac{3}{4}\). Взаимно обратное число — это число, при умножении на которое исходное число даст 1. То есть, можно записать следующее уравнение:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \quad \text{(2)}\]

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом замены. Выразим одну из переменных из уравнения (1) и подставим в уравнение (2).

Из уравнения (1) получаем:
\[x = 6 - y\]

Подставим это выражение в уравнение (2):
\[\frac{1}{6-y} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\]

Для удобства домножим оба члена уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:
\[12 \cdot \left(\frac{1}{6-y}\right) + 12 \cdot \left(\frac{1}{y}\right) = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)\]

После упрощений получим:
\[2(6-y) + 3y = 9\]

Раскроем скобки:
\[12 - 2y + 3y = 9\]

Соберем переменные вместе:
\[12 + y = 9\]

Перенесем 12 на другую сторону:
\[y = 9 - 12\]

Посчитаем:
\[y = -3\]

Теперь, когда мы нашли значение для \(y\), можем подставить его в уравнение (1), чтобы найти значение для \(x\):
\[x + (-3) = 6\]

Сложим:
\[x = 6 + 3\]

Посчитаем:
\[x = 9\]

Таким образом, два натуральных числа, сумма которых равна 6, а сумма их взаимно обратных чисел равна \(\frac{3}{4}\), это числа 9 и -3.