Які є критичні точки функції f(x)=3x піднесені до кубу, мінус x піднесені до квадрату?

Иван

25

Для того, чтобы найти критические точки функции \(f(x) = 3x^3 - x^2\), нам понадобится первая и вторая производные этой функции.

Шаг 1: Найдем первую производную \(f"(x)\):
\[f"(x) = 9x^2 - 2x\]

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв \(f"(x)\) к 0 и решив полученное уравнение:
\[9x^2 - 2x = 0\]

Выносим общий множитель:
\[x(9x - 2) = 0\]

Таким образом, \(x = 0\) или \(x = \frac{2}{9}\).

Шаг 3: Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, нужно найти вторую производную функции \(f""(x)\):
\[f""(x) = 18x - 2\]

Шаг 4: Подставим найденные критические точки \(x = 0\) и \(x = \frac{2}{9}\) в \(f""(x)\) и определим их тип:

- Для \(x = 0\):
\[f""(0) = 18(0) - 2 = -2\]
Так как \(f""(0) < 0\), то точка \(x = 0\) является локальным максимумом.

- Для \(x = \frac{2}{9}\):
\[f""\left(\frac{2}{9}\right) = 18\left(\frac{2}{9}\right) - 2 = 2 - 2 = 0\]
Так как \(f""\left(\frac{2}{9}\right) = 0\), то нам нужно провести дополнительный анализ.

Шаг 5: Проведем анализ точки \(x = \frac{2}{9}\) с помощью первой производной и самой функции:

- Подставим \(x = \frac{2}{9}\) в \(f"(x)\):
\(f"\left(\frac{2}{9}\right) = 9\left(\frac{2}{9}\right)^2 - 2\left(\frac{2}{9}\right) = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0\)

- Подставим значения \(x = \frac{2}{9}\) и \(x = \frac{1}{3}\) в \(f(x)\):
\(f\left(\frac{2}{9}\right) = 3\left(\frac{2}{9}\right)^3 - \left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{8}{243} - \frac{4}{81} = -\frac{4}{243}\)
\(f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0\)

На основе этого анализа, мы видим, что при \(x = \frac{2}{9}\), функция имеет горизонтальный точечный перегиб и не является экстремумом.

Итак, критическими точками функции \(f(x) = 3x^3 - x^2\) являются:
- \(x = 0\) (локальный максимум)
- \(x = \frac{2}{9}\) (точка перегиба)

Надеюсь, данное пошаговое решение позволило вам лучше понять, как найти критические точки и классифицировать их. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!