Які швидкості маси снаряду та платформи після попадання снаряду в платформу, якщо маса снаряду становить 50
Які швидкості маси снаряду та платформи після попадання снаряду в платформу, якщо маса снаряду становить 50 кг, а швидкість снаряду під час падіння утворює кут α = 45º з горизонтальною площиною, а платформа рухається на зустріч снаряду з невідомою швидкістю, і скільки важить платформа?
Ледяная_Душа 64
Добре, давайте розглянемо дану задачу крок за кроком.Перш за все, давайте знайдемо горизонтальну складову швидкості снаряду \(V_x\) і вертикальну складову швидкості снаряду \(V_y\), використовуючи заданий кут \(\alpha\):
\[V_x = V \cdot \cos{\alpha}\]
\[V_y = V \cdot \sin{\alpha}\]
Тут \(V\) - швидкість снаряду під час падіння.
Далі, ми можемо використовувати закон збереження імпульсу, оскільки відсутня зовнішня сила, що діє на систему після попадання снаряду в платформу.
На початку нашої системи маса снаряду \(m_1\) рухалася зі швидкістю \(V_x\) у горизонтальному напрямку і зі швидкістю \(V_y\) у вертикальному напрямку. На платформу, маса якої позначена як \(m_2\), не діяло жодної горизонтальної сили, тому горизонтальна складова імпульсу системи зберігається:
\[m_1 \cdot V_x = (m_1 + m_2) \cdot V"_x\]
Тут \(V"_x\) позначає швидкість снаряду і платформи після зіткнення.
Застосуємо цей закон збереження імпульсу до вертикальної складової імпульсу. Вертикальна складова імпульсу зберігається, оскільки відсутня зовнішня сила, що діє на систему після попадання снаряду в платформу:
\[m_1 \cdot V_y = (m_1 + m_2) \cdot V"_y\]
Тут \(V"_y\) позначає вертикальну складову швидкості снаряду і платформи після зіткнення.
Ми також знаємо, що маса снаряду \(m_1\) становить 50 кг. Давайте позначимо невідому масу платформи як \(m_2\) і невідому швидкість платформи після зіткнення як \(V"_x\).
Ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:
\[V_x = \frac{{m_1}}{{m_1 + m_2}} \cdot V"_x\]
\[V_y = \frac{{m_1}}{{m_1 + m_2}} \cdot V"_y\]
Далі, давайте вважати, що снаряд відскочує від платформи після зіткнення без втрати кінетичної енергії. Це означає, що кінетична енергія системи до зіткнення дорівнює кінетичній енергії після зіткнення:
\[\frac{1}{2} m_1 V^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V"^2\]
Замінімо \(V_x\) і \(V_y\) на вирази, що ми отримали раніше:
\[\frac{1}{2} m_1 (V_x^2 + V_y^2) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (V"_x^2 + V"_y^2)\]
Підставимо вирази для \(V_x\) і \(V_y\) у рівняння:
\[\frac{1}{2} m_1 \left(\left(\frac{{m_1}}{{m_1 + m_2}} \cdot V"_x\right)^2 + \left(\frac{{m_1}}{{m_1 + m_2}} \cdot V"_y\right)^2\right) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (V"_x^2 + V"_y^2)\]
Спростимо це рівняння:
\[\frac{1}{2} m_1 \left(\frac{{m_1^2}}{{(m_1 + m_2)^2}} \cdot V"_x^2 + \frac{{m_1^2}}{{(m_1 + m_2)^2}} \cdot V"_y^2\right) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (V"_x^2 + V"_y^2)\]
Множимо обидві частини рівняння на 2 для спрощення:
\[m_1 \left(\frac{{m_1^2}}{{(m_1 + m_2)^2}} \cdot V"_x^2 + \frac{{m_1^2}}{{(m_1 + m_2)^2}} \cdot V"_y^2\right) = (m_1 + m_2) (V"_x^2 + V"_y^2)\]
Поділимо обидві частини рівняння на \(m_1\):
\[\frac{{m_1^2}}{{(m_1 + m_2)^2}} \cdot V"_x^2 + \frac{{m_1^2}}{{(m_1 + m_2)^2}} \cdot V"_y^2 = V"_x^2 + V"_y^2\]
Помножимо обидві частини рівняння на \((m_1 + m_2)^2\):
\[m_1^2 \cdot V"_x^2 + m_1^2 \cdot V"_y^2 = (m_1 + m_2)^2 \cdot (V"_x^2 + V"_y^2)\]
Поділимо обидві частини рівняння на \(m_1^2\):
\[V"_x^2 + V"_y^2 = (m_1 + m_2)^2\]
Ми можемо виразити суму маси снаряду і платформи \(m_1 + m_2\) з цього рівняння:
\[m_1 + m_2 = \sqrt{V"_x^2 + V"_y^2}\]
Та з нашого розгляду системи рівнянь швидкостей:
\[V_x = \frac{{m_1}}{{m_1 + m_2}} \cdot V"_x\]
Підставимо вираз для \(m_1 + m_2\) у рівняння швидкості \(V_x\):
\[V_x = \frac{{m_1}}{{\sqrt{V"_x^2 + V"_y^2}}} \cdot V"_x\]
Спростимо це рівняння, помноживши обидві частини на \(\sqrt{V"_x^2 + V"_y^2}\):
\[V_x \cdot \sqrt{V"_x^2 + V"_y^2} = m_1 \cdot V"_x\]
Поділимо обидві частини на \(V"_x\):
\[\sqrt{V"_x^2 + V"_y^2} = \frac{{m_1 \cdot V"_x}}{{V_x}}\]
Піднесемо обидві частини до квадрату:
\[V"_x^2 + V"_y^2 = \left(\frac{{m_1 \cdot V"_x}}{{V_x}}\right)^2\]
Застосуємо закон збереження енергії до вертикальної складової швидкості:
\[\frac{1}{2} m_1 V_y^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (V"_y)^2\]
Спростимо це рівняння:
\[\frac{1}{2} m_1 (V_y)^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (V"_y)^2\]
Поділимо обидві частини на \(\frac{1}{2} V_y^2\):
\[m_1 = \frac{{m_1 + m_2}}{{(V"_y)^2}}\]
Поділимо обидві частини на \(m_1\):
\[1 = \frac{{m_1 + m_2}}{{m_1 \cdot (V"_y)^2}}\]
Ми знаємо, що маса снаряду \(m_1\) становить 50 кг. Підставимо це значення у рівняння:
\[1 = \frac{{50 + m_2}}{{50 \cdot (V"_y)^2}}\]
Помножимо обидві частини на \(50 \cdot (V"_y)^2\):
\[50 \cdot (V"_y)^2 = 50 + m_2\]
Віднімемо 50 від обох частин рівняння:
\[50 \cdot (V"_y)^2 - 50 = m_2\]
Отже, ми знайшли вираз для маси платформи \(m_2\).
Тепер ми маємо два рівняння для швидкості снаряду \(V"_x\) і \(V"_y\) та вираз для маси платформи \(m_2\):
\[V"_x^2 + V"_y^2 = \left(\frac{{m_1 \cdot V"_x}}{{V_x}}\right)^2\]
\[V_x \cdot \sqrt{V"_x^2 + V"_y^2} = m_1 \cdot V"_x\]
\[m_2 = 50 \cdot (V"_y)^2 - 50\]
Таким чином, якщо нам дані значення швидкості снаряду \(V_x\), куту \(\alpha\), і маса снаряду \(m_1\), ми можемо вирішити цю задачу для швидкостей снаряду \(V"_x\) і \(V"_y\) та маси платформи \(m_2\).
Якщо вам потрібна конкретна кількість, будь ласка, надайте значення швидкості снаряду \(V_x\), куту \(\alpha\) та маси снаряду \(m_1\), і я зможу обчислити шукані значення за допомогою вищезгаданих рівнянь.