Які швидкості руху кульок будуть після удару, враховуючи центральний пружний стик, якщо нерухома кулька має масу

Liska

31

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Пусть \( m_1 \) - масса неподвижной кульки, \( m_2 \) - масса движущейся кульки до столкновения и \( v_2 \) - ее скорость до столкновения, \( v_1 \) - скорость неподвижной кульки после столкновения и \( v_2" \) - скорость движущейся кульки после столкновения.

Закон сохранения импульса говорит нам, что сумма импульсов системы до и после столкновения должна быть одинаковой:
\[ m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2" \]

Закон сохранения энергии утверждает, что кинетическая энергия системы до и после столкновения должна быть одинаковой:
\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot 0^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2 \]

Из первого уравнения мы можем выразить \( v_1 \) через \( v_2 \) и \( v_2" \):
\[ v_1 = \frac{m_2 \cdot v_2 - m_2 \cdot v_2"}{m_1} \]

Подставим \( v_1 \) во второе уравнение и решим его относительно \( v_2" \):
\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot \left( \frac{m_2 \cdot v_2 - m_2 \cdot v_2"}{m_1} \right)^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2 \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{1}{2} \left( m_2^2 \cdot v_2^2 - 2m_2^2 \cdot v_2 \cdot v_2" + m_2^2 \cdot v_2"^2 \right) + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \left( m_2^2 \cdot v_2^2 - 2m_2^2 \cdot v_2 \cdot v_2" + m_2^2 \cdot v_2"^2 \right) + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2 \]

Избавимся от сложных членов:
\[ v_2^2 - v_2"^2 + v_2^2 = v_2"^2 \]

Упростим:
\[ v_2^2 = 2v_2"^2 \]

Теперь найдем \( v_2" \):
\[ v_2" = \sqrt{\frac{v_2^2}{2}} = \frac{v_2}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, после удара скорость движущейся кульки будет равна \( v_2" = \frac{5 \ м/с}{\sqrt{2}} = 3,54 \ м/с \).

Надеюсь, это решение будет понятным для школьника.