Які властивості має трикутник АВС з вершинами А (2; –4; 2), В (3; –3; 3), С (4; 0; 1)? Чи є він тупокутним

Malyshka

10

Чтобы определить, является ли треугольник АВС тупоугольным, гостроугольным или прямоугольным, нам необходимо проанализировать его углы. Для этого мы можем использовать теорему косинусов.

Первым шагом нам необходимо найти длины сторон треугольника АВС. Мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\]
\[AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2 + (z_C-z_A)^2}\]
\[BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C-y_B)^2 + (z_C-z_B)^2}\]

Подставляя координаты вершин треугольника, получим:

\[AB = \sqrt{(3-2)^2 + (-3-(-4))^2 + (3-2)^2}\]
\[AC = \sqrt{(4-2)^2 + (0-(-4))^2 + (1-2)^2}\]
\[BC = \sqrt{(4-3)^2 + (0-(-3))^2 + (1-3)^2}\]

После вычислений, получим:

\[AB \approx 1.73\]
\[AC \approx 5.83\]
\[BC \approx 4.9\]

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для определения углов треугольника. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)\]
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие углы.

Применяя формулу косинусов, мы можем выразить каждый угол треугольника через соответствующие стороны:

\[\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]
\[\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]
\[\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Подставляя значения длин сторон и выполняя вычисления, получим:

\[\cos(A) \approx 0.64\]
\[\cos(B) \approx 0.46\]
\[\cos(C) \approx 0.84\]

Теперь, имея значения косинусов, мы можем определить тип углов треугольника.

Если все косинусы положительные (больше нуля), то треугольник является остроугольным. Если один из косинусов равен нулю, то треугольник - прямоугольный. Если хотя бы один из косинусов отрицателен, то треугольник - тупоугольный.

В нашем случае, если округлить значения косинусов, мы получим:

\[\cos(A) \approx 0.64\]
\[\cos(B) \approx 0.46\]
\[\cos(C) \approx 0.84\]

Все эти значения больше нуля, что означает, что треугольник АВС является остроугольным.