Які значення косинусів кутів у трикутнику АВС і який тип цього трикутника, якщо А(1;-3;4) В(2;-2;5) С(3;1;3)?

Yaschik

30

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы и определения, связанные с треугольниками.

Первым шагом нам нужно найти длины сторон треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой длины вектора:

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\]
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\]
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\]

где \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BC}\) - это векторы, соединяющие точки A, B и C соответственно.

Вычислим значения векторов:

\[\overrightarrow{AB} = (2 - 1, -2 - (-3), 5 - 4) = (1, 1, 1)\]
\[\overrightarrow{AC} = (3 - 1, 1 - (-3), 3 - 4) = (2, 4, -1)\]
\[\overrightarrow{BC} = (3 - 2, 1 - (-2), 3 - 5) = (1, 3, -2)\]

Затем найдем длины этих векторов. Длина вектора вычисляется по формуле:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

где \(x\), \(y\), \(z\) - это координаты вектора.

Вычислим длины сторон треугольника ABC:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{21}\]
\[|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}\]

Теперь, когда у нас есть длины сторон, мы можем найти значения косинусов углов треугольника. Для этого воспользуемся формулой косинуса:

\[\cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

где \(\theta\) - это один из углов ABC, \(a\), \(b\), \(c\) - это длины сторон треугольника, причем \(c\) - это длина противоположной стороны к углу \(\theta\).

Вычислим значения косинусов углов ABC:

\[\cos(\angle ABC) = \frac{{|\overrightarrow{AB}|}^2 + {|\overrightarrow{BC}|}^2 - {|\overrightarrow{AC}|}^2}{2 \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{{|\overrightarrow{AB}|}^2 + {|\overrightarrow{AC}|}^2 - {|\overrightarrow{BC}|}^2}{2 \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}\]
\[\cos(\angle BCA) = \frac{{|\overrightarrow{BC}|}^2 + {|\overrightarrow{AC}|}^2 - {|\overrightarrow{AB}|}^2}{2 \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}\]

Вычислим значения:

\[\cos(\angle ABC) = \frac{{(\sqrt{3})}^2 + {(\sqrt{14})}^2 - {(\sqrt{21})}^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{14}}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{{(\sqrt{3})}^2 + {(\sqrt{21})}^2 - {(\sqrt{14})}^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}}\]
\[\cos(\angle BCA) = \frac{{(\sqrt{14})}^2 + {(\sqrt{21})}^2 - {(\sqrt{3})}^2}{2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{21}}\]

Произведем вычисления:

\[\cos(\angle ABC) = \frac{3 + 14 - 21}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = -\frac{4}{3 \sqrt{2}}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{3 + 21 - 14}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}\]
\[\cos(\angle BCA) = \frac{14 + 21 - 3}{2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{4}{3 \sqrt{2}}\]

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи:

Значения косинусов углов ABC:
\(\cos(\angle ABC) = -\frac{4}{3 \sqrt{2}}\)
\(\cos(\angle BAC) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}\)
\(\cos(\angle BCA) = \frac{4}{3 \sqrt{2}}\)

Тип треугольника определяется по значениям косинусов углов:
- Если все значения косинусов положительны, то треугольник является остроугольным.
- Если одно из значений косинусов равно нулю, то треугольник является прямоугольным.
- Если одно из значений косинусов отрицательно, то треугольник является тупоугольным.

В нашем случае:
\(\cos(\angle ABC)\) и \(\cos(\angle BCA)\) отрицательные, а \(\cos(\angle BAC)\) положительное. Значит, треугольник ABC является тупоугольным.

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам лучше понять и решить данную задачу.