Яким буде час падіння та відстань, на якій тіло впаде на землю, якщо його кинули вгору під кутом 30° до горизонту

Lelya_7573

38

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулы кинематики для движения тела под углом.

Начнем с вычисления времени падения тела. Вертикальная составляющая начальной скорости - это \(v_0 \cdot \sin(\theta)\), где \(v_0\) - начальная скорость, а \(\theta\) - угол к горизонту. Вертикальное ускорение свободного падения равно \(g \approx 9.8 \ м/с^2\).

Используя формулу \(h = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\), где \(h\) - высота падения, мы можем выразить время падения \(t\):

\[h = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

Так как тело возвращается на землю, \(h\) равно высоте башни. Пусть \(h_0\) - высота башни.

\[h_0 = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

Мы можем решить это уравнение относительно времени \(t\). Предположим, что мы уже знаем значение высоты (\(h_0\)), начальной скорости (\(v_0\)) и угла (\(\theta\)). Чтобы упростить решение, давайте введем следующие обозначения:

\[a = \frac{1}{2} \cdot g\]
\[b = v_0 \cdot \sin(\theta)\]
\[c = -h_0\]

Теперь у нас есть следующее квадратное уравнение:

\[a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0\]

Решив это уравнение, мы можем найти значения времени \(t\). Заметьте, что будет два значения \(t\): одно позитивное и одно негативное. Мы будем интересоваться только позитивным значением времени \(t\).

Как только мы найдем время падения тела \(t\), мы сможем найти расстояние, на которое тело упадет от башни. Для этого мы можем использовать формулу горизонтальной составляющей начальной скорости \(d = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t\), где \(d\) - расстояние.

Теперь давайте приступим к числовому решению задачи. Допустим, высота башни равна \(h_0 = 50\) метров, начальная скорость \(v_0 = 15\) м/с, и угол \(\theta = 30\) градусов.

Первым делом, вычислим вертикальную составляющую начальной скорости \(v_{0y}\):

\[v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) = 15 \cdot \sin(30^\circ) \approx 7.5 \ м/с\]

Затем найдем время падения \(t\) решением квадратного уравнения:

\[a = \frac{1}{2} \cdot g = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \approx 4.9 \ м/с^2\]
\[b = v_{0y} = 7.5 \ м/с\]
\[c = -h_0 = -50 \ м\]

\[a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0\]

Используя квадратное уравнение, можно найти значения времени \(t \approx 0\) сek и \(t \approx 2.04\) сек (округляем до сотых). Мы интересуемся только позитивным значением времени \(t\), поэтому заключаем, что тело упадет на землю примерно через \(2.04\) секунды после его броска.

Наконец, вычислим расстояние, на которое тело упадет от башни, используя формулу для горизонтальной составляющей начальной скорости:

\[d = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t\]
\[d = 15 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2.04 \approx 26.3 \ м\]

Таким образом, тело упадет на землю примерно через 2.04 секунды после броска на расстоянии около 26.3 метров от башни.