Яким буде площа замкненої фігури, обмеженої лініями y = 4x - x^2 та y = 4

Загадочная_Сова

18

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, нужно сначала найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения к друг другу:

\(4x - x^2 = 4\)

Теперь решим это уравнение для \(x\). Приведем его к форме квадратного уравнения:

\(x^2 - 4x + 4 = 0\)

С помощью решения квадратного уравнения, находим два корня: \(x = 2\). Мы нашли точки пересечения фигуры c осями координат.

Теперь посмотрим на график этих двух линий:

\[
\begin{align*}
y &= 4x - x^2 \\
y &= 4
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 4 \\
2 & 4 \\
4 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что фигура ограничена двумя линиями и горизонтальной линией \(y = 4\).
Теперь мы можем построить график этой фигуры:

\[
\begin{array}{c}
\text{-------} \quad \text{-------} \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
y \quad ------- \quad ------- \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
= 4 \quad | \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \\
\text{-------} \quad \text{-------}
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно найти площадь каждого из треугольников, образованных осями координат и линиями. Затем сложим площади треугольников.

Первый треугольник будет иметь высоту 4 и основание длиной 2:

\[ \text{Площадь первого треугольника} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \]

Второй треугольник будет иметь высоту 4 и основание длиной 2:

\[ \text{Площадь второго треугольника} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \]

Теперь сложим площади треугольников:

\[ \text{Площадь фигуры} = 4 + 4 = 8 \]

Таким образом, площадь замкнутой фигуры, ограниченной линиями \(y = 4x - x^2\) и \(y = 4\), равна 8 квадратным единицам.