Какие значения x удовлетворяют уравнению: (x + 1)(x^{2} - x + 1) - x(x + 2)(x - 2

Магнитный_Зомби

57

Для решения данного уравнения необходимо приравнять его к нулю и найти значения \(x\), при которых это уравнение выполняется. Давайте решим его пошагово:

1. Раскроем скобки в данном уравнении:

\((x + 1)(x^{2} - x + 1) - x(x + 2)(x - 2) = 0\)

\(x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 - x^{3} + 2x + 2x^{2} - 4x = 0\)

2. Упростим выражение выше, объединяя подобные слагаемые:

\(x^{3} + x^{2} - x^{3} + 2x^{2} - x - x + 2x - 4x + 1 = 0\)

\(2x^{2} - 4x + 1 = 0\)

3. Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя формулу дискриминанта или метод завершения квадратного трехчлена.

Используя формулу дискриминанта \(D = b^{2} - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 1\), найдем значение дискриминанта:

\(D = (-4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8\)

4. Так как дискриминант \(D = 8 > 0\), у уравнения есть два вещественных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Вычислим значения корней:

\(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Итак, значения \(x\), удовлетворяющие уравнению, равны \(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\).