Яким є значення S6 в геометричній прогресії (сn), яка має початкове значення 27 (с2) та значення п ятого члена 3 (с5)?

Блестящая_Королева

32

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Дано: початкове значення геометричної прогресії \(c_2 = 27\) и значение пятого члена \(c_5 = 3\).

Для решения вам понадобится формула общего члена геометрической прогрессии:

\[c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\]

где:
\(c_n\) - значение n-го члена геометрической прогрессии,
\(c_1\) - начальное значение геометрической прогрессии,
\(q\) - знаменник геометрической прогрессии,
\(n\) - номер члена геометрической прогрессии.

Нам известны значения \(c_2\) и \(c_5\). Подставим их в данную формулу и найдем значение \(q\):

\[c_2 = c_1 \cdot q^{2-1} \Rightarrow 27 = c_1 \cdot q\]
\[c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} \Rightarrow 3 = c_1 \cdot q^4\]

Теперь решим получившуюся систему уравнений. Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от \(c_1\):

\[\frac{3}{27} = \frac{c_1 \cdot q^4}{c_1 \cdot q} \Rightarrow \frac{1}{9} = q^3\]

Возведем обе части уравнения в 1/3 степень:

\[\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{3}} = q\]
\[\frac{1}{3} = q\]

Итак, мы нашли знаменник геометрической прогрессии \(q = \frac{1}{3}\).

Теперь мы можем найти значение \(S_6\) - суммы первых шести членов геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{c_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}\]

Подставим известные значения:

\[S_6 = \frac{27 \cdot (1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27 \cdot \left(\frac{728}{729}\right)}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \left(\frac{728}{729}\right) \cdot \frac{3}{2} \approx 27 \cdot 0.9986 \approx 26.9602\]

Итак, значение \(S_6\) составляет приблизительно 26.9602.