Яким є звичайний дрібовий вираз для нескінченного десяткового періодичного числа 1,2272727?

Ледяной_Волк

39

Для начала, давайте разберемся, что такое периодическое десятичное число. Периодическое десятичное число - это число, в котором после запятой повторяется одна или несколько цифр или групп цифр.

Теперь давайте напишем данное число в виде обыкновенной десятичной дроби. Обозначим это число за \(x\).

Учитывая, что первая цифра после запятой равна 1, а вторая цифра после запятой - 2, а затем начинается периодическая последовательность цифр 72, мы можем заметить, что период состоит из двух цифр.

Теперь представим периодическую последовательность цифр в числителе дроби и выразим число в виде суммы двух слагаемых: первого слагаемого, равного целой части числа, и второго слагаемого, равного периодическому дробному числу.

Итак, начнем. Пусть \(y\) - это периодическое десятичное число.

Тогда мы можем записать:

\[x = 1 + \frac{y}{100} = 1 + \frac{1,\overline{72}}{100}.\]

Теперь давайте разберемся с числителем. Числитель равен сумме периодической последовательности цифр, умноженной на \(10^k\), где \(k\) - количество цифр в периодической последовательности.
В данном случае, \(k = 2\), так как период состоит из двух цифр.

Теперь можем записать:

\[x = 1 + \frac{72}{100} \cdot \frac{10^2}{10^2} = 1 + \frac{72}{100} \cdot \frac{100}{10^2}.\]

Упростим дробь, делая соответствующие вычисления:

\[x = 1 + \frac{72}{100} \cdot \frac{100}{10^2} = 1 + \frac{72}{10^2} = 1 + \frac{72}{100}.\]

Теперь можем записать общую дробь в виде:

\[x = 1 + \frac{72}{100} = \frac{100}{100} + \frac{72}{100} = \frac{100 + 72}{100} = \frac{172}{100}.\]

Теперь, когда у нас есть обыкновенная дробь, мы можем ее упростить, разделив числитель на общий делитель числителя и знаменателя. В данном случае общий делитель равен 4.

Разделим и числитель, и знаменатель на 4:

\[x = \frac{172}{100} = \frac{43}{25}.\]

Итак, обыкновенная десятичная дробь, которая является представлением периодического десятичного числа \(1,2272727\), равна \(\frac{43}{25}\).