Какова вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап, если он должен выиграть хотя бы в одном из трех туров

Алексеевич_8506

45

Хорошо, давайте решим эту задачу с пошаговым обоснованием.

Пусть вероятность выигрыша Паши в каждом из трех туров первого этапа равна \( p \). Мы хотим найти вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап.

Вероятность выигрыша Паши в одном из трех туров равна 1 минус вероятность проигрыша во всех трех турах. Поскольку вероятность проигрыша в каждом туре равна \( 1 - p \), вероятность выигрыша в одном из трех туров составляет:

\[ P(\text{выигрыш в одном из трех туров}) = 1 - (1-p)^3 \]

Теперь нам нужно найти вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап. Если он выигрывает хотя бы в одном из трех туров, то он будет проходить во второй этап. Таким образом, вероятность того, что он не пройдет во второй этап, равна обратной вероятности того, что он пройдет во второй этап:

\[ P(\text{не пройдет во второй этап}) = 1 - P(\text{пройдет во второй этап}) \]

Таким образом, вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап, равна:

\[ P(\text{не пройдет во второй этап}) = 1 - (1 - (1-p)^3) \]

Данное выражение можно упростить, раскрыв скобки:

\[ P(\text{не пройдет во второй этап}) = 1 - 1 + 3p - 3p^2 + p^3 \]

Таким образом, вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап, равна \( 3p - 3p^2 + p^3 \).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап, на основе его вероятности выигрыша в каждом из трех туров первого этапа. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!