Який буде об єм куба, що має таку ж площу поверхні, як куля, що оточує його?

Вадим

46

Для решения этой задачи нам нужно сначала найти площадь поверхности куба и площадь поверхности кулi, а затем найти сторону куба и радиус кулi, следовательно.

Давайте начнем с куба. Формула для нахождения площади поверхности куба - это \(A = 6s^2\), где \(A\) - площадь поверхности, а \(s\) - длина стороны куба. Дано, что площадь поверхности куба будет такой же, как у кулi.

Теперь перейдем к куле. Формула для нахождения площади поверхности шара - это \(A = 4\pi r^2\), где \(A\) - площадь поверхности, а \(r\) - радиус kулi.

Таким образом, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти сторону куба и радиус кулi такие, чтобы \(6s^2 = 4\pi r^2\). Для этого нам нужно определить соотношение стороны куба и радиуса кулi.

Чтобы продолжить, давайте вспомним формулу для объема куба: \(V = s^3\), где \(V\) - объем, а \(s\) - длина стороны куба.

Давайте попробуем выразить радиус кулi через сторону куба. Заметим, что диаметр кулi равен длине стороны куба, поскольку куб вписан в кулю и описан вокруг кулi. Таким образом, радиус кулi \(r\) равен половине длины стороны куба, то есть \(r = \frac{s}{2}\).

Теперь мы можем заменить \(r\) в уравнении \(6s^2 = 4\pi r^2\), чтобы решить его относительно \(s\). Подставим \(r = \frac{s}{2}\) и получим:

\(6s^2 = 4\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2\)

\(6s^2 = 4\pi \frac{s^2}{4}\)

Упрощая выражение, получаем:

\(6s^2 = \pi s^2\)

Теперь давайте разрешим уравнение относительно \(s\):

\(6s^2 - \pi s^2 = 0\)

\(s^2(6 - \pi) = 0\)

Так как \(s^2\) не может быть равно нулю, мы можем разделить обе части на \(s^2\), чтобы получить:

\(6 - \pi = 0\)

Теперь найдем соотношение между стороной куба и радиусом кулi:

\(r = \frac{s}{2}\)

\(r = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

Теперь мы знаем, что радиус кулi равен \(\frac{\sqrt{6}}{2}\). Применяя это к формуле объема кулi: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), мы можем найти объем кулi.

\(V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3\)

\(V = \frac{4}{3}\pi \frac{6\sqrt{6}}{8}\)

\(V = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}\)

Таким образом, объем куба, который имеет такую же площадь поверхности, как и куля, равен \(\frac{2\pi\sqrt{6}}{3}\).