Який буде знаменник зростаючої геометричної прогресії, якщо перший, другий і четвертий члени утворюють арифметичну

Milana

51

Давайте розглянемо дану геометричну прогресію, яка має перший, другий і четвертий члени, утворюючи арифметичну прогресію.

Нехай перший член даної геометричної прогресії буде \(a\), а різниця арифметичної прогресії - \(d\).

Тоді ми можемо записати такі вирази:

Перший член: \(a\)
Другий член: \(a \cdot r\), де \(r\) - збільшення у геометричній прогресії.
Четвертий член: \(a \cdot r^3\).

Також, за умовою задачі знаємо, що перший, другий і четвертий члени утворюють арифметичну прогресію, тому можемо записати наступний рівняння:

\[a \cdot r + d = a \cdot r^3\]

Тепер пошукаймо знаменник \(r\) у даній рівнянні. Для цього розкриємо дужки та спростимо рівняння:

\[ar + d = ar^3\]
\[ar^3 - ar -d = 0\]

Це квадратне рівняння зі змінною \(r\). Давайте розв"яжемо його. Використаємо квадратну формулу:

\[r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку:

\[a = a\]
\[b = -a\]
\[c = -d\]

Підставимо ці значення у формулу:

\[r_{1,2} = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-d)}}{2 \cdot a}\]
\[r_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4ad}}{2a}\]

Тепер ми знайшли два можливих значення для \(r\). Важливо врахувати, що одне з них має бути додатним, адже задана геометрична прогресія є зростаючою. Тому оберемо той знаменник, який буде додатнім. Знаменник \(r\) буде:

\[r = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4ad}}{2a}\]

Отже, знаменник зростаючої геометричної прогресії буде \(r = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4ad}}{2a}\).