Який кут утворює дотична до графіка функції y=1/6 * x^6 у точці x0=-1 з додатним напрямком

Ласка

15

Для решения данной задачи, нам необходимо найти угол, который образуется между касательной к графику функции \(y=\frac{1}{6}x^6\) в точке \(x_0=-1\) и положительным направлением.

Для начала, найдем производную данной функции. Используя степенное правило дифференцирования, мы получим:

\[
y"=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{6}x^6\right)=\frac{1}{6}\cdot 6x^5=x^5
\]

Теперь найдем значение производной в точке \(x_0=-1\), подставив \(x_0\) в формулу \(y"\):

\[
y"(-1)=(-1)^5=-1
\]

Таким образом, мы получили значение наклона касательной в точке \(x_0=-1\), которое равно -1.

Чтобы найти угол между касательной и положительным направлением, нам понадобится использовать тригонометрическую функцию арктангенс (тангенс обратной). Обозначим угол, который образуется между касательной и положительным направлением, через \(\theta\).

Тогда можем записать:

\[
\tan(\theta) = -1
\]

Применим обратную функцию, чтобы найти значение угла \(\theta\):

\[
\theta = \arctan(-1)
\]

Подставим это выражение в калькулятор и получим:

\[
\theta \approx -45^\circ \quad \text{ или } \quad \theta \approx -\frac{\pi}{4} \ \text{рад}
\]

Таким образом, угол, который образуется между касательной к графику функции \(y=\frac{1}{6}x^6\) в точке \(x_0=-1\) и положительным направлением, составляет около -45 градусов (или -\(\frac{\pi}{4}\) радиан).