Якій масі людини із швидкістю 3,5 м/с треба наздогнати візок масою 100 кг, що рухається зі швидкістю 1,1 м/с, щоб вона

Солнечный_Смайл

17

Для решения этой задачи, нам нужно использовать законы сохранения импульса и механической энергии. Давайте начнем с закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса гласит, что суммарный импульс замкнутой системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения, при условии отсутствия внешних сил.

Пусть \(m_1\) - масса человека, \(v_1\) - его скорость перед столкновением, \(m_2\) - масса визка, \(v_2\) - его скорость перед столкновением, \(v_1"\) - скорость человека после столкновения, \(v_2"\) - скорость визка после столкновения.

Перед столкновением у человека и визка нет импульса, поэтому:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0\]

Теперь применим закон сохранения механической энергии. Этот закон гласит, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии замкнутой системы остается постоянной при отсутствии неупругих потерь энергии.

Кинетическая энергия человека и визка до столкновения равна:
\[E_{\text{кин1}} = \frac{m_1 \cdot v_1^2}{2}\]
\[E_{\text{кин2}} = \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2}\]

После столкновения, когда человек застрибнул в визок, у системы есть только кинетическая энергия:
\[E"_{\text{кин1}} = \frac{m_1 \cdot (v_1")^2}{2}\]
\[E"_{\text{кин2}} = \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Закон сохранения механической энергии дает нам следующее равенство:
\[E_{\text{кин1}} + E_{\text{кин2}} = E"_{\text{кин1}} + E"_{\text{кин2}}\]

Подставим значения кинетической энергии и упростим выражение:
\[\frac{m_1 \cdot v_1^2}{2} + \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} = \frac{m_1 \cdot (v_1")^2}{2} + \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Теперь, когда у нас есть два уравнения, мы можем решить систему уравнений, чтобы найти \(m_1\) - массу человека.

Давайте освободим уравнение от \(v_1"\):

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0 \implies v_1 = -\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\]

Теперь заменим \(v_1\) во втором уравнении:

\[\frac{m_1 \cdot \left(-\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\right)^2}{2} + \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} = \frac{m_1 \cdot (v_1")^2}{2} + \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{m_2^2 \cdot v_2^2}{2 \cdot m_1} + \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} = \frac{m_1 \cdot (v_1")^2}{2} + \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Теперь избавимся от \(v_1"\), заменив его с помощью \(v_1 = -\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\):

\[\frac{m_2^2 \cdot v_2^2}{2 \cdot m_1} + \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} = \frac{m_1 \cdot \left(-\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\right)^2}{2} + \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{m_2^2 \cdot v_2^2}{2 \cdot m_1} + \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} = \frac{m_2^2 \cdot v_2^2}{2} + \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Отсюда видно, что \(\frac{m_2^2 \cdot v_2^2}{2 \cdot m_1}\) может быть сокращено в обоих частях уравнения, аннулируя \(v_2^2\). Получается:

\[\frac{m_2 \cdot v_2^2}{2} = \frac{m_2 \cdot (v_2")^2}{2}\]

Тогда можно сократить \(\frac{m_2}{2}\) в обеих частях уравнения:

\[v_2^2 = (v_2")^2\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[v_2^2 = v_2"^2\]

Затем возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[v_2 = v_2"\]

То есть скорость визка до столкновения равна скорости визка после столкновения.

Теперь давайте воспользуемся этим результатом, чтобы решить задачу. Для того чтобы человек моге застрибнуть в визок, его скорость после столкновения должна быть не меньше скорости визка, то есть \(v_1" \geq v_2\).

Зная, что \(v_2 = 1.1 \, \text{м/с}\), мы можем использовать это значение, чтобы найти наименьшую массу человека \(m_1\), которая удовлетворяет данному условию.

Подставим \(v_2 = 1.1 \, \text{м/с}\) в уравнение \(v_1 = -\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\):

\[v_1 = -\frac{m_2}{m_1} \cdot 1.1\]

Теперь заменим \(v_1\) в неравенстве \(v_1" \geq v_2\):

\[-\frac{m_2}{m_1} \cdot 1.1 \geq 1.1\]

Домножим обе части неравенства на \(-m_1\) (учитывая, что масса не может быть отрицательной, поэтому знак неравенства не меняется):

\[m_2 \cdot 1.1 \leq -1.1 \cdot m_1\]

Теперь можно сократить коэффициенты и переставить части неравенства:

\[1.1 \cdot m_2 \leq -1.1 \cdot m_1\]

Теперь делим обе части неравенства на \(1.1\):

\[m_2 \leq -m_1\]

Так как массы не могут быть отрицательными, мы можем изменить знак неравенства:

\[m_2 \geq m_1\]

Таким образом, наименьшая масса человека \(m_1\), которая позволяет ему застрибнуть в визок, должна быть не больше массы самого визка \(m_2\).

В данном случае, масса визка составляет 100 кг. Поэтому масса человека должна быть не больше 100 кг.

Для надежности, можно взять массу человека, равную массе визка, чтобы гарантировать, что он сможет застрибнуть в визок. Таким образом, масса человека должна быть не больше 100 кг.

Ответ: Массе человека, чтобы он мог застрибнуть в визок, должна быть не больше 100 кг.