Який є периметр прямокутника, вписаного у трикутник ΔABC зі стороною AC = 12 см і висотою BH = 18 см, якщо його сторони

Belka

43

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему подобия треугольников.

Во-первых, обозначим длины сторон прямоугольника. Пусть длина прямоугольника, вписанного в треугольник, будет равна \(a\), а его ширина - \(b\).

Мы знаем, что стороны прямоугольника пропорциональны числам, то есть:

\[\frac{a}{b} = \frac{12}{18}\]

Для удобства, мы можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Нам известно, что и \(12\), и \(18\) делятся на \(6\), поэтому:

\[\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\]

Теперь мы можем найти соотношение между длиной \(a\) и длиной \(b\). Умножим обе части этого уравнения на \(b\), чтобы избавиться от дроби:

\[a = \frac{2}{3}b\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ΔABC\). Мы видим, что прямоугольник \(ABCD\) заключен в треугольнике \(ΔABC\) таким образом, что сторона \(AD\) параллельна стороне \(BC\).

Пусть \(AE\) будет высотой треугольника \(ΔABC\), проходящей через вершину \(A\). Так как \(BHD\) - прямоугольник, то объемлющая его прямая будет проходить через точку \(D\).

Мы можем применить теорему подобия треугольников \(ΔABH\) и \(ΔADE\), так как угол \(\angle B\) и угол \(\angle E\) при вершинах \(B\) и \(E\) являются прямыми.

Используя подобие треугольников, мы можем записать равенство соответствующих сторон:

\[\frac{AB}{AD} = \frac{BH}{AE}\]

Мы знаем, что \(AB = a\) (длина прямоугольника), \(BH = 18\) (высота треугольника) и \(AE = 12\) (сторона треугольника), поэтому:

\[\frac{a}{AD} = \frac{18}{12}\]

Опять же, мы можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В данном случае, как уже замечено, числитель и знаменатель делятся на \(6\), поэтому:

\[\frac{a}{AD} = \frac{3}{2}\]

Теперь выразим длину \(AD\) через \(a\):

\[AD = \frac{2}{3}a\]

Возвращаемся к прямоугольнику. Чтобы найти периметр прямоугольника, необходимо сложить длины всех его сторон. У нашего прямоугольника стороны \(AD\) и \(BC\) равны, а стороны \(AB\) и \(CD\) равны.

\[P = 2(AD + AB)\]

Подставим выражения для \(AD\) и \(AB\) в формулу:

\[P = 2\left(\frac{2}{3}a + a\right)\]

Упростим выражение:

\[P = 2\left(\frac{5}{3}a\right)\]

В итоге, периметр прямоугольника равен:

\[P = \frac{10}{3}a\]

Ответ: Периметр прямоугольника, вписанного в треугольник \(ΔABC\), с соотношением сторон, пропорциональным \(\frac{2}{3}\), равен \(\frac{10}{3}a\), где \(a\) - длина прямоугольника.