Який є рух тіла, якщо його швидкість задана законом v(t) = 2t + 1, а початкове положення тіла S(1) = 3 2

Magiya_Morya

24

Для начала давайте найдем первообразную для функции \(f(x)\).

У нас дана функция \(f(x) = x^{10} - x^8 + x\). Чтобы найти первообразную функцию для этой функции, мы будем интегрировать каждый член по отдельности.

Итак, интеграл от \(x^{10}\) будет равен \(\frac{1}{11}x^{11}\). Интеграл от \(x^8\) будет равен \(\frac{1}{9}x^9\). И интеграл от \(x\) будет равен \(\frac{1}{2}x^2\).

Теперь мы можем записать первообразную функцию для \(f(x)\):

\[F(x) = \frac{1}{11}x^{11} - \frac{1}{9}x^9 + \frac{1}{2}x^2 + C\]

где \(C\) - это постоянная, которую мы добавляем, потому что при интегрировании мы можем потерять некоторые константы.

Теперь, чтобы решить задачу о движении тела, нам нужно использовать заданный закон скорости \(v(t) = 2t + 1\) и начальное положение тела \(S(1) = \frac{3}{2}\).

Закон скорости говорит нам, что скорость \(v(t)\) равна производной от положения тела \(S(t)\). Итак, мы можем найти положение тела, интегрируя данную скорость:

\[S(t) = \int v(t) dt\]

\[S(t) = \int (2t + 1) dt\]

Интегрируя каждый член по отдельности, получаем:

\[S(t) = \int 2t dt + \int 1 dt\]

\[S(t) = t^2 + t + C_1\]

где \(C_1\) - это постоянная интегрирования.

Теперь мы знаем положение тела в зависимости от времени, выраженное через функцию \(S(t)\). Нам осталось только найти значение постоянной \(C_1\), используя начальное положение тела \(S(1) = \frac{3}{2}\).

Подставляем \(t = 1\) в выражение для \(S(t)\):

\[\frac{3}{2} = 1^2 + 1 + C_1\]

\[\frac{3}{2} = 2 + C_1\]

Решаем это уравнение относительно \(C_1\):

\[C_1 = \frac{3}{2} - 2\]

\[C_1 = -\frac{1}{2}\]

Итак, мы получаем окончательное уравнение положения тела:

\[S(t) = t^2 + t - \frac{1}{2}\]

Таким образом, решение задачи о движении тела дано уравнением \(S(t) = t^2 + t - \frac{1}{2}\), где \(S(t)\) - это положение тела в зависимости от времени.