Який є вимір кутів гострокутного трикутника, якщо співвідношення його катетів дорівнює 5:2?

Svetik

33

Щоб знайти вимір кутів гострокутного трикутника, потрібно звернути увагу на теорему синусів. Вона говорить, що для гострокутного трикутника співвідношення між стороною трикутника і синусом протилежного йому кута є постійним:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

де \(a\), \(b\), \(c\) - сторони трикутника, \(A\), \(B\), \(C\) - кути трикутника, які протилежні відповідним сторонам.

Дано співвідношення між катетами трикутника: \(5:2\). Припустимо, що перший катет має довжину 5 одиниць, а другий - 2 одиниці.

Застосуємо теорему синусів до нашого трикутника:

\[
\frac{5}{\sin A} = \frac{2}{\sin B}
\]

Ми не знаємо значення кутів \(A\) та \(B\), тому ми не можемо розв"язати це рівняння безпосередньо. Але ми можемо встановити співвідношення між цими кутами, використовуючи властивість, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам:

\[A + B + C = 180^\circ\]

Ми знаємо, що наш трикутник є гострокутним, тому всі його кути менші за 90 градусів. Це означає, що \(A\) і \(B\) також менші за 90 градусів.

Тепер ми можемо використати інформацію про \(A\) та \(B\):

\[A + B + C = 180^\circ\]
\[A + B + 90^\circ < 180^\circ\]

Враховуючи ці обмеження, ми можемо розв"язати наше рівняння.

Давайте почнемо звідси:

\[\frac{5}{\sin A} = \frac{2}{\sin B}\]
\[5\sin B = 2\sin A\]

Тепер застосуємо знання про синуси кутів з одним з трикутників, який має співвідношення 3:4:5. Візьмемо \(A\) в цьому трикутнику:

\[\sin A = \frac{3}{5}\]

Підставляючи це значення у наше рівняння, отримаємо:

\[5\sin B = 2\left(\frac{3}{5}\right)\]
\[5\sin B = \frac{6}{5}\]

Тепер розділимо обидві частини на 5, щоб знайти значення синусу кута \(B\):

\[\sin B = \frac{6}{5 \cdot 5} = \frac{6}{25}\]

Тепер, щоб знайти сам кут \(B\), нам потрібно застосувати обернену функцію до синусу, що називається арксинусом:

\[B = \arcsin\left(\frac{6}{25}\right)\]

У такий же спосіб, можна знайти кут \(A\):

\[A = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\]

А щоб знайти кут \(C\), ми можемо використати факт, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам:

\[C = 180^\circ - A - B\]

Тепер у нас є значення всіх кутів трикутника. Наприклад, ми можемо використати калькулятор або таблицю значень для обчислення арксинусу.

Зверніть увагу, що дане розв"язання можна продовжити для обчислення кутів, але результати будуть нецілочисельними значеннями за наших початкових припущень. Тому для конкретних значень кутів потрібно необхідно встановити конкретні значення для катетів трикутника.