Який з наведених алгебраїчних виразів є цілим числом? А). x+5/(x-2) ; Б). x/(x-4) ; В). x+3/x ; Г). x-1/5

Chernyshka

59

Для решения этой задачи необходимо определить, при каких значениях переменной \(x\) выражение будет являться целым числом.

А) \(x + \frac{5}{x-2}\)

Чтобы это выражение было целым числом, необходимо, чтобы знаменатель \(x-2\) делил нацело числитель \(x+5\). Однако это возможно только при условии \(x-2 = 1\) или \(x-2 = -1\), так как это единственные целочисленные делители числа 5.

Решая уравнения \(x-2 = 1\) и \(x - 2 = -1\), мы получаем два значения переменной \(x\): \(x = 3\) или \(x = 1\).

Б) \(\frac{x}{x-4}\)

Допустим, что это выражение является целым числом. Тогда знаменатель \(x-4\) должен делить нацело числитель \(x\). Однако заметим, что при \(x=4\) знаменатель обращается в ноль, что делает это выражение неопределённым. Значит, нет таких значений \(x\), при которых это выражение будет целым числом.

В) \(x + \frac{3}{x}\)

Аналогично, чтобы выражение было целым числом, знаменатель \(x\) должен делить нацело числитель \(3\). В данном случае это выполняется только при \(x = 1\) или \(x = -1\).

Г) \(x - \frac{1}{5}\)

Тут необходимо, чтобы знаменатель 5 делил нацело числитель \(x\). Поскольку 5 не имеет других делителей, не равных самому себе и единице, данное выражение является целым числом при любом значении \(x\), кроме случая, когда \(x\) равно 5.

Таким образом, ответ на задачу:

А) \(x + \frac{5}{x-2}\) - является целым числом при \(x = 3\) и \(x = 1\).

Б) \(\frac{x}{x-4}\) - не является целым числом при любых значениях \(x\), так как при \(x = 4\) знаменатель обращается в ноль.

В) \(x + \frac{3}{x}\) - является целым числом при \(x = 1\) и \(x = -1\).

Г) \(x - \frac{1}{5}\) - является целым числом при любых значениях \(x\), за исключением \(x = 5\).