Який є зовнішній опір кола, якщо воно складається з трьох гальванічних елементів з різними ЕРС (2,2 В, 1,1 В, 0,9

Ласточка

59

Щоб знайти зовнішній опір кола, необхідно врахувати внутрішні опори гальванічних елементів, а також їхні ЕРС (електродвижучі сили). Для цього використовується закон Ома та закон Кірхгофа.

Закон Ома стверджує, що струм (I) в колі прямопропорційний до напруги (U) і обернено пропорційний опору (R) кола. Запишемо цей закон для нашої задачі:

\[U = I \cdot R\]

Тепер застосуємо закон Кірхгофа для циркуляції потенціалу. Згідно з цим законом, сума електродвижучих сил в колі дорівнює сумі падінь напруг на кожній частині кола:

\[\sum_{k=1}^{n} E_k - \sum_{k=1}^{n} I_k \cdot r_k = 0\]

де E_k - ЕРС (електродвижуча сила) кожного гальванічного елемента, I_k - струм, що проходить кожним елементом, r_k - внутрішня опір кожного елемента.

За даними у завданні у нас є 3 гальванічних елемента з різними ЕРС і внутрішніми опорами:

ЕРС: E₁ = 2,2 В, E₂ = 1,1 В, E₃ = 0,9 В
внутрішні опори: r₁ = 0,2 Ом, r₂ = 0,4 Ом, r₃ = 0,5 Ом

Позначимо зовнішній опір кола як R.

Тепер розв"яжемо систему рівнянь, враховуючи закон Кірхгофа:

\(E₁ - I₁ \cdot r₁ + E₂ - I₂ \cdot r₂ + E₃ - I₃ \cdot r₃ = 0\)

Закон Ома також можна застосувати до кожного гальванічного елемента:

\(E₁ = I₁ \cdot R\)
\(E₂ = I₂ \cdot R\)
\(E₃ = I₃ \cdot R\)

Підставимо ці вирази в систему рівнянь:

\(I₁ \cdot R - I₁ \cdot r₁ + I₂ \cdot R - I₂ \cdot r₂ + I₃ \cdot R - I₃ \cdot r₃ = 0\)

Розкриємо скобки:

\(I₁ \cdot R - I₁ \cdot r₁ + I₂ \cdot R - I₂ \cdot r₂ + I₃ \cdot R - I₃ \cdot r₃ = 0\)

Згрупуємо за індексом струму:

\(I₁ \cdot (R - r₁) + I₂ \cdot (R - r₂) + I₃ \cdot (R - r₃) = 0\)

За допомогою закону Ома і заміни:
\(I₁ = \frac{E₁}{R}\)
\(I₂ = \frac{E₂}{R}\)
\(I₃ = \frac{E₃}{R}\)

Ми можемо переписати рівняння:

\(\frac{E₁}{R} \cdot (R - r₁) + \frac{E₂}{R} \cdot (R - r₂) + \frac{E₃}{R} \cdot (R - r₃) = 0\)

Розкриємо дужки:

\(E₁ - E₁ \cdot \frac{r₁}{R} + E₂ - E₂ \cdot \frac{r₂}{R} + E₃ - E₃ \cdot \frac{r₃}{R} = 0\)

Згрупуємо за \(R\) і розв"яжемо рівняння:

\[2.2 - 2.2 \cdot \frac{0.2}{R} + 1.1 - 1.1 \cdot \frac{0.4}{R} + 0.9 - 0.9 \cdot \frac{0.5}{R} = 0\]

\[2.2 - \frac{0.44}{R} + 1.1 - \frac{0.44}{R} + 0.9 - \frac{0.45}{R} = 0\]

\[4.2 - \frac{1.33}{R} = 0\]

Віднімемо 4.2 від обох боків:

\[-\frac{1.33}{R} = -4.2\]

Поділимо обидві частини на -1.33:

\[\frac{1}{R} = \frac{-4.2}{-1.33}\]

\[R = \frac{1.33}{4.2}\]

\[R \approx 0.317 \Omega\]

Отже, зовнішній опір кола становить приблизно 0.317 Ом.