Якщо провести дотичну площину до сфери радіусом 112 см через точку М, то позначимо на цій площині точку К. Відстань

Misticheskiy_Podvizhnik

34

Давайте разберемся с этой задачей. У нас есть сфера радиусом 112 см и точка М, через которую проведена касательная к этой сфере. Нам нужно найти расстояние между точками М и К, где точка К - это точка пересечения касательной с плоскостью.

Для начала рассмотрим треугольник МОК, где О - это центр сферы. Заметим, что МО - это радиус сферы, а ОК - это расстояние от точки К до центра сферы. Также, говорится, что расстояние от точки К до наиболее удаленной от нее точки на сфере равно 225 см.

Используя теорему Пифагора в треугольнике МОК, имеем:
\[МК^2 = МО^2 + ОК^2.\]

Заметим, что МО равно радиусу сферы, то есть 112 см. Пусть х будет расстоянием между точками М и К. Тогда, используя уравнение, получим:
\[х^2 = (112)^2 + ОК^2. \qquad (1)\]

Теперь, у нас есть еще одна информация: расстояние от точки К до наиболее удаленной от нее точки на сфере равно 225 см. Рассмотрим прямую через точку К и центр сферы О. Заметим, что эта прямая будет перпендикулярна плоскости МОК (так как точка К является точкой пересечения плоскости и сферы). Таким образом, медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике МОК, будет равна расстоянию от вершины прямого угла до гипотенузы, то есть 225 см.

Используя формулу для медианы в прямоугольном треугольнике, получаем:
\[МК^2 = \frac{1}{4}(2МО^2 + 2ОК^2 - ОМ^2) = \frac{1}{4}(2(112)^2 + 2ОК^2 - (112)^2) = \frac{1}{4}(2\cdot112^2 + 2ОК^2 - 112^2).\]

Так как расстояние от точки К до наиболее удаленной от нее точки на сфере равно 225 см, мы можем записать это как:
\[МК^2 = \frac{1}{4}(2\cdot112^2 + 2ОК^2 - 112^2) = \frac{1}{4}(2\cdot112^2 + 2\cdot225^2 - 112^2).\qquad (2)\]

Теперь у нас есть два уравнения: уравнение (1) и уравнение (2). Мы можем приравнять их, чтобы найти значение расстояния ОК.

\[(112)^2 + ОК^2 = \frac{1}{4}(2\cdot112^2 + 2\cdot225^2 - 112^2).\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[(112)^2 + ОК^2 = \frac{1}{4}(2\cdot112^2 + 2\cdot225^2 - 112^2).\]
\[112^2 + ОК^2 = \frac{1}{4}(112^2 + 2\cdot225^2).\]

Упростим это выражение:
\[112^2 + ОК^2 = \frac{1}{4}(112^2 + 2\cdot225^2).\]
\[112^2 + ОК^2 = \frac{1}{4}(112^2 + 2\cdot225^2).\]
\[4(112^2 + ОК^2) = 112^2 + 2\cdot225^2.\]
\[448\cdot112 + 4ОК^2 = 112^2 + 2\cdot225^2.\]
\[448\cdot112 = 112^2 + 2\cdot225^2 - 4ОК^2.\]
\[448\cdot112 = 112^2 + 2\cdot225^2 - 4ОК^2.\]
\[4ОК^2 = 112^2 + 2\cdot225^2 - 448\cdot112.\]
\[ОК^2 = \frac{112^2 + 2\cdot225^2 - 448\cdot112}{4}.\]

Теперь подставим это значение ОК^2 в уравнение (1), чтобы найти значение расстояния х.

\[x^2 = (112)^2 + ОК^2.\]
\[x^2 = (112)^2 + \frac{112^2 + 2\cdot225^2 - 448\cdot112}{4}.\]

Остается только рассчитать это значение.