Яку максимальну висоту повинна мати стеля залу, щоб гімнастка успішно підіймала обруч у повітрі нашвидкоруч

Николаевич

58

Для решения данной задачи используем законы механики. Предположим, что гимнастка начинает свой прыжок с пола и взлетает вертикально вверх, поднимая обруч. Будем считать, что в момент начала прыжка у гимнастки горизонтальная скорость обруча уже равна 12 м/с.

Первым шагом определим максимальную высоту, на которую может подняться гимнастка, и для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Механическая энергия гимнастки в начале прыжка состоит из двух частей: кинетической энергии, связанной с её движением, и потенциальной энергии, связанной с её высотой над полом. В момент начала прыжка гимнастка имеет только кинетическую энергию.

Кинетическая энергия гимнастки в начале прыжка:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(m\) - масса гимнастки (пусть она равна \(m = 50\) кг) и \(v\) - её начальная скорость (12 м/с).

Теперь рассмотрим потенциальную энергию гимнастки на максимальной высоте. Поскольку гимнастка находится на пике своего движения, кинетическая энергия равна нулю, и вся энергия переходит в потенциальную. Поэтому можно записать:

\[E_{\text{пот}} = mgh\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (принимаем его за \(9,8\) м/с²) и \(h\) - максимальная высота, на которую поднимается гимнастка.

Из закона сохранения энергии:

\[E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}\]

\[\frac{1}{2}mv^2 = mgh\]

Подставляя известные значения:

\[\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (12)^2 = 50 \cdot 9,8 \cdot h\]

Упростив это уравнение, получаем:

\[h = \frac{(12)^2}{9,8} = \frac{144}{9,8} \approx 14,7\ м\]

Таким образом, максимальная высота стелы зала должна быть примерно 14,7 метров.

Теперь перейдем к определению времени, которое займет выполнение данной акробатической процедуры. Для этого воспользуемся уравнением времени свободного падения. Так как процесс подъема обруча и его поймывания представляют собой движение, обратное свободному падению, время подъема оказывается равным времени свободного падения.

Уравнение времени свободного падения имеет вид:

\[h = \frac{1}{2}gt^2\]

где \(t\) - время свободного падения.

Подставляя известные значения:

\[14,7 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2\]

Решая это уравнение, находим:

\[t^2 = \frac{14,7 \cdot 2}{9,8} = \frac{29,4}{9,8} \approx 3\]

\[t \approx \sqrt{3} \approx 1,7\ с\]

Таким образом, гимнастке потребуется примерно 1,7 секунды, чтобы подняться обручом на максимальную высоту и поймать его в руки.