Яку об єм має менший конус, якщо заданий конус має об єм 120?

Евгения_169

45

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для объема конуса. Формула объема конуса выглядит следующим образом:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

где $V$ - объем конуса, $\pi$ - число пи, $r$ - радиус основания конуса и $h$ - высота конуса.

Дано, что объем большего конуса равен 120. Пусть радиус основания большего конуса равен $r_1$, а высота конуса равна $h_1$. Мы хотим найти меньший конус, поэтому нам нужно найти радиус основания $r_2$ и высоту $h_2$ для меньшего конуса.

Мы знаем, что объем большего конуса равен 120:

$$V_1=\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1=120$$

Теперь нам нужно выразить $h_2$ через $h_1$ и $r_2$ через $r_1$, чтобы получить формулу для объема меньшего конуса.

Давайте подберем соотношение между $r_1$ и $r_2$ при условии, что высоты $h_1$ и $h_2$ связаны между собой. Обратимся к подобным треугольникам, образованным горизонтальными плоскостями, проходящими через вершины конусов:

$$\frac{h_2}{r_2}=\frac{h_1}{r_1}$$

Теперь, найдя соотношения между $h_1$ и $h_2$ и $r_1$ и $r_2$, мы можем использовать их в формуле объема конуса для меньшего конуса:

$$V_2=\frac{1}{3}\pi r_2^2{h}_2$$

Подставим найденные соотношения в формулу объема конуса для меньшего конуса:

$$V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{r_1}{h_1}{h}_2\right)}^2{h}_2$$

$$V_2=\frac{1}{3}\pi \frac{r_1^2}{h_1^2}{h}_2^3$$

$$V_2=\frac{1}{3}\pi \frac{r_1^2}{h_1^2}\frac{120}{\pi }$$

$$V_2=\frac{1}{3}\frac{r_1^2}{h_1^2}\cdot 120$$

Таким образом, меньший конус будет иметь объем, равный $\frac{1}{3}$ от объема большего конуса. Выразим $V_2$ через $V_1$:

$$V_2=\frac{1}{3}{V}_1=\frac{1}{3}\cdot 120=40$$

Таким образом, объем меньшего конуса равен 40.