Яку об єм має менший конус, якщо заданий конус має об єм 120?

Евгения_169

45

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для объема конуса. Формула объема конуса выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

Дано, что объем большего конуса равен 120. Пусть радиус основания большего конуса равен \(r_1\), а высота конуса равна \(h_1\). Мы хотим найти меньший конус, поэтому нам нужно найти радиус основания \(r_2\) и высоту \(h_2\) для меньшего конуса.

Мы знаем, что объем большего конуса равен 120:

\[V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = 120\]

Теперь нам нужно выразить \(h_2\) через \(h_1\) и \(r_2\) через \(r_1\), чтобы получить формулу для объема меньшего конуса.

Давайте подберем соотношение между \(r_1\) и \(r_2\) при условии, что высоты \(h_1\) и \(h_2\) связаны между собой. Обратимся к подобным треугольникам, образованным горизонтальными плоскостями, проходящими через вершины конусов:

\[
\frac{h_2}{r_2} = \frac{h_1}{r_1}
\]

Теперь, найдя соотношения между \(h_1\) и \(h_2\) и \(r_1\) и \(r_2\), мы можем использовать их в формуле объема конуса для меньшего конуса:

\[
V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2
\]

Подставим найденные соотношения в формулу объема конуса для меньшего конуса:

\[
V_2 = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{r_1}{h_1} h_2 \right)^2 h_2
\]

\[
V_2 = \frac{1}{3} \pi \frac{r_1^2}{h_1^2} h_2^3
\]

\[
V_2 = \frac{1}{3} \pi \frac{r_1^2}{h_1^2} \frac{120}{\pi}
\]

\[
V_2 = \frac{1}{3} \frac{r_1^2}{h_1^2} \cdot 120
\]

Таким образом, меньший конус будет иметь объем, равный \(\frac{1}{3}\) от объема большего конуса. Выразим \(V_2\) через \(V_1\):

\[
V_2 = \frac{1}{3}V_1 = \frac{1}{3} \cdot 120 = 40
\]

Таким образом, объем меньшего конуса равен 40.