Яку площу має проекція квадрата, який спроектовано на площину під кутом 30°? Задано, що площа цієї проекції дорівнює

Змея

21

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые знания из геометрии.

Как известно, квадрат имеет четыре стороны одинаковой длины. Обозначим длину стороны квадрата символом \(x\).

Теперь мы должны выразить площадь проекции квадрата через его сторону и угол наклона плоскости. Из задачи известно, что площадь проекции составляет \(8\sqrt{3}\).

Площадь проекции квадрата на плоскость равна произведению площади самого квадрата на косинус квадрата угла между плоскостью и плоскостью параллельной к горизонту.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[Проекция = Площадь \cdot \cos^2(30^\circ)\]

Подставим известные значения:

\[8\sqrt{3} = x^2 \cdot \cos^2(30^\circ)\]

Далее, для вычисления значения \(\cos^2(30^\circ)\), мы можем воспользоваться формулой:

\[\cos^2(30^\circ) = \frac{1 + \cos(60^\circ)}{2}\]

\[\cos^2(30^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4}\]

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[8\sqrt{3} = x^2 \cdot \frac{3}{4}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно переменной \(x\). Мы можем сократить общий множитель 4:

\[32\sqrt{3} = 3x^2\]

Затем, делим обе части уравнения на 3:

\[\frac{32\sqrt{3}}{3} = x^2\]

Извлекая квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[x = \sqrt{\frac{32\sqrt{3}}{3}}\]

Упрощаем это выражение, получаем:

\[x = \sqrt{\frac{32}{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{32}{3} \cdot 3^\frac{1}{2}} = \sqrt{32 \cdot 3^\frac{1}{2} \cdot 3^{-\frac{1}{2}}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны квадрата равна \(4\sqrt{2}\).