Яку швидкість санки досягнуть в кінці спуску з гори довжиною 20 м, якщо кут нахилу гори до горизонту становить 30°?

Шарик

68

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип сохранения механической энергии. Согласно этому принципу, сумма потенциальной энергии и кинетической энергии системы остается постоянной.

Перейдем к формуле для потенциальной энергии:
\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\]
где \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия, \(m\) - масса санок, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота горы.

Теперь рассмотрим формулу для кинетической энергии:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]
где \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия, \(v\) - скорость санок.

На начальном и конечном пункте трассы горы потенциальная энергия равна нулю, поскольку высота равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия в нашей задаче не учитывается.

На высоте горы потенциальная энергия полностью преображается в кинетическую энергию, таким образом, у нас есть равенство:
\[E_{\text{пот}} = E_{\text{кин}}\]
\[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Масса санок \(m\) сокращается на обеих сторонах уравнения. Также, ускорение свободного падения \(g\) можно заменить на \(9,8 \, \text{м/с}^2\).

Учитывая, что \(h\) (высота горы) равна продукту расстояния (длины спуска) на синус угла наклона горы, мы можем записать уравнение следующим образом:
\[20 \, \text{м} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot v^2\]

Теперь решим это уравнение относительно \(v\):
\[v^2 = 2 \cdot 20 \, \text{м} \cdot \sin(30^\circ)\]
\[v^2 = 40 \, \text{м} \cdot \sin(30^\circ)\]
\[v^2 = 40 \, \text{м} \cdot \frac{1}{2}\]
\[v^2 = 20 \, \text{м}\]
\[v = \sqrt{20 \, \text{м}}\]
\[v = 4,47 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость санок в конце спуска составит 4,47 м/с.