Яку сторону паралелограма потрібно знайти, якщо його діагоналі мають довжину 6√2см і 2см, а кут між ними складає 45°?

Galina

64

Чтобы найти одну из сторон параллелограмма, мы можем воспользоваться теоремой косинусов, так как у нас есть длины двух диагоналей и между ними известен угол.

Обозначим одну из сторон параллелограмма через \(a\).

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C)\]

Где:
\(c\) - длина стороны параллелограмма (одну из его сторон, которую мы ищем)
\(a\) и \(b\) - длины диагоналей параллелограмма
\(C\) - угол между диагоналями

Так как у нас известны значения, мы можем подставить их в формулу и решить уравнение.

\[6\sqrt{2}^2 = a^2 + 2^2 - 2 \cdot a \cdot 2 \cdot cos(45°)\]

\(6\sqrt{2}^2\) можно упростить до \(72\).

\[72 = a^2 + 4 - 4a \cdot cos(45°)\]

Для дальнейших вычислений, нужно определить значение \(cos(45°)\). Так как это прямоугольный треугольник со сторонами, \(a = b = \sqrt{2}\), значение \(cos(45°)\) можно найти как:

\[cos(45°) = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь мы можем продолжить вычисления:

\[72 = a^2 + 4 - 4a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Далее, упростим уравнение:

\[72 = a^2 + 4 - 2a\sqrt{2}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(a\). Вычтем 72 из обеих частей уравнения:

\[a^2 - 2a\sqrt{2} + 4 - 72 = 0\]

\[a^2 - 2a\sqrt{2} - 68 = 0\]

Нам понадобится применить квадратное уравнение для решения этого. Мы можем использовать дискриминант \(D\) и формулу для нахождения корней:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Где \(a = 1\), \(b = -2\sqrt{2}\), и \(c = -68\).

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(1)(-68)\]
\[D = 8 - (-272)\]
\[D = 280\]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней:

\[a = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{280}}{2}\]

\[a = \frac{\sqrt{2} \pm 2\sqrt{70}}{1}\]

В итоге мы получили два значения для \(a\), а именно:

\[a_1 = \sqrt{2} + 2\sqrt{70}\]
\[a_2 = \sqrt{2} - 2\sqrt{70}\]

В данной задаче нам нужно найти физическую длину стороны параллелограмма, так что мы выбираем только положительное значение \(a_1\):

\[a_1 = \sqrt{2} + 2\sqrt{70}\]

Итак, одна из сторон параллелограмма равна \(\sqrt{2} + 2\sqrt{70}\) см (сантиметров).