Яку температуру буде мати вода у посудині, якщо в неї вкинути 100 г льоду при температурі -10 °C у залізної посудині

Ten

43

Щоб вирішити цю задачу, треба врахувати обмін теплом між водою, льодом і посудиною. Перш ніж почати розв"язування, перенесемо всі дані у зручний формат:

\(m_1 = 100 \, \text{г}\) - маса льоду
\(T_1 = -10 \, °\text{C}\) - температура льоду
\(m_2 = 200 \, \text{г}\) - маса залізної посудини
\(C_2 = 0,46 \, \text{кДж / (кг · °C)}\) - коефіцієнт теплової провідності заліза
\(T_2 = 10 \, °\text{C}\) - температура води
\(m_3 = 100 \, \text{г}\) - маса води
\(C_3 = 4200 \, \text{Дж / (кг · °C)}\) - специфічна теплоємність води
\(C_4 = 2100 \, \text{Дж / (кг · °C)}\) - специфічна теплоємність льоду
\(\lambda = 330 \, \text{кДж}\) - теплота плавлення льоду

У першу чергу необхідно підрахувати тепло, яке візьме льод для нагрівання до точки плавлення:

\[Q_1 = m_1 \cdot C_4 \cdot (0 - T_1) = 100 \, \text{г} \cdot 2100 \, \text{Дж / (кг · °C)} \cdot (0 - (-10) \, °\text{C})\]
\[Q_1 = 100 \cdot 2100 \cdot 10 = 210000 \, \text{Дж}\]

Тепер, коли льод стане водою при 0 °C, ми повинні врахувати теплоту плавлення:

\[Q_2 = m_1 \cdot \lambda = 100 \, \text{г} \cdot 330 \, \text{кДж} = 33000 \, \text{кДж}\]

Загальна кількість тепла, яка потрібна для нагрівання води з 10 °C до кінцевої температури \(T_3\) буде:

\[Q_3 = m_3 \cdot C_3 \cdot (T_3 - T_2)\]

Зауважимо, що посудина залізна, тому вона візьме тепло від інших об"єктів. Це тепло можна розрахувати за формулою:

\[Q_4 = m_2 \cdot C_2 \cdot (T_3 - T_2)\]

Загальна кількість виділеного тепла повинна бути достатньою, щоб забезпечити нагрівання води та плавлення льоду:

\[Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4\]

Оскільки тепло - енергія, виключне слово "Дж":

\[Q = 210000 \, \text{Дж} + 33000 \, \text{Дж} + m_3 \cdot C_3 \cdot (T_3 - T_2) + m_2 \cdot C_2 \cdot (T_3 - T_2)\]

Тепер ми можемо розв"язати останнє рівняння відносно \(T_3\):

\[Q = 210000 \, \text{Дж} + 33000 \, \text{Дж} + 100 \, \text{г} \cdot 4200 \, \text{Дж / (кг · °C)} \cdot (T_3 - 10 \, °\text{C}) + 200 \, \text{г} \cdot 0,46 \, \text{кДж / (кг · °C)} \cdot (T_3 - 10 \, °\text{C})\]

Обрахуємо:

\[Q = 210000 \, \text{Дж} + 33000 \, \text{Дж} + 100 \cdot 4200 \cdot (T_3 - 10) + 200 \cdot 0,46 \cdot (T_3 - 10)\]

Очистимо це рівняння від всіх зайвих символів та знайдемо \(T_3\). Зверніть увагу, що 1 кДж = 1000 Дж:

\[Q = 210000 \, \text{Дж} + 33000 \, \text{Дж} + 100 \cdot 4200 \cdot (T_3 - 10) + 200 \cdot 0,46 \cdot (T_3 - 10)\]
\[Q = 210000 + 33000 + 100 \cdot 4200 \cdot (T_3 - 10) + 200 \cdot 0,46 \cdot (T_3 - 10)\]
\[Q = 210000 + 33000 + 420000 \cdot (T_3 - 10) + 92 \cdot (T_3 - 10)\]
\[Q = 210000 + 33000 + 420000 \cdot T_3 - 4200000 + 92 \cdot T_3 - 920\]
\[Q = 210000 + 33000 - 4200000 - 920 + 420000 \cdot T_3 + 92 \cdot T_3\]
\[Q = -3846920 + 420092 \cdot T_3\]

Тепер ми маємо рівняння, яке можна вирішити відносно \(T_3\):

\[-3846920 + 420092 \cdot T_3 = Q\]

Якщо ми знаємо значення тепла \(Q\) з відомих даних, ми можемо використовувати це рівняння для знаходження \(T_3\). Будь-яке значення \(T_3\) в межах фізично доступних температур буде відповідати задачі. Якщо задача не містить значення тепла \(Q\), неможливо точно знайти \(T_3\).

Тепер ви можете застосувати цю методику до задачі, використовуючи відомі значення відповідних показників. Не забувайте перевірити свій результат, підставивши значення \(T_3\) у рівняння і побачивши, чи збігається рівність.