Яку ймовірність беруть випадкове двоцифрове число, яке ділиться націло?

Oksana

3

Хорошо, давайте разберем задачу!

Мы хотим узнать вероятность того, что случайно выбранное двузначное число делится нацело. Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала выяснить, сколько всего двузначных чисел существует.

Двузначные числа представляются в виде \(\text{AB}\), где \(\text{A}\) и \(\text{B}\) обозначают цифры. Цифра \(\text{A}\) может принимать значения от 1 до 9, а цифра \(\text{B}\) - от 0 до 9.

Таким образом, у нас есть 9 возможных значений для цифры \(\text{A}\) и 10 возможных значений для цифры \(\text{B}\), что дает нам общее количество двузначных чисел равное произведению этих двух чисел, т.е. \(9\times 10=90\).

Теперь давайте посчитаем, сколько из этих 90 двузначных чисел делятся нацело.

Для того чтобы число делилось нацело, оно должно быть кратным делителю. В данном случае делитель - это число, на которое мы делим, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

Для удобства подсчета чисел, которые делятся нацело, разделим случаи на каждый делитель:

1. Любое число делится на 1, поэтому все 90 двузначных чисел делятся на 1.

2. Проверим, сколько чисел из 90 делятся на 2. Чтобы число делилось на 2, оно должно быть четным. Двузначные четные числа можно получить, если цифра \(\text{B}\) равна 0, 2, 4, 6 или 8. Таким образом, у нас есть 5 выборов для цифры \(\text{B}\) и 9 выборов для цифры \(\text{A}\), в сумме \(5\times 9=45\) чисел, которые делятся на 2.

3. Проверим, сколько чисел из 90 делятся на 3. Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Если мы посмотрим на двузначные числа, которые в сумме дают кратное 3 число, мы получим следующие комбинации: (1, 2), (1, 5), (1, 8), (2, 1), (2, 4), (2, 7), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 2), (4, 5), (4, 8), (5, 1), (5, 4), (5, 7), (6, 3), (6, 6), (7, 2), (7, 5), (7, 8), (8, 1), (8, 4), (8, 7), (9, 3), (9, 6). Всего у нас 24 таких комбинации, а для каждой комбинации у нас есть по 9 вариантов выбора цифр \(\text{A}\) и \(\text{B}\). Следовательно, всего \(24\times 9=216\) двузначных чисел делятся на 3.

4. Повторим аналогичную логику для оставшихся делителей.
- Для чисел, делящихся на 4, нужно чтобы последние цифры были 0 или 4. Это даёт 2 возможные цифры \(\text{B}\) и 9 возможных значений для \(\text{A}\) (так как ограничения на цифры соблюдаются вне этого случая). Таким образом, у нас есть \(2\times 9=18\) чисел, делящихся на 4.
- Для чисел, делящихся на 5, нужно чтобы последней цифрой была 0 или 5. Это даёт 2 возможные цифры \(\text{B}\) и 9 возможных значений для \(\text{A}\). В этом случае также у нас есть \(2\times 9=18\) чисел, делящихся на 5.
- Поскольку двузначное число, делящееся на 6, должно быть одновременно кратным 2 и 3, у нас уже есть \(45\) чисел, которые делятся на 2, а еще \(216\) чисел, делящихся на 3. Все числа, делящиеся на 6, должны входить в оба списка чисел, поэтому мы просто выбираем количество чисел, делящихся нацело, из меньшего списка. Таким образом, у нас \(45\) чисел, делящихся на 6.
- Для чисел, делящихся на 7, нужно рассмотреть все 90 двузначных чисел и проверить, делится ли каждое из них на 7. Такая проверка займет некоторое время, и я могу предоставить вам таблицу с числами, которые делятся на 7. Это займет некоторое время. Вот эти числа: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91. Заметим, что в этом списке у нас 12 чисел, делящихся на 7.
- Для чисел, делящихся на 8, последние две цифры должны быть кратны 4. Поскольку у нас 10 возможных значений для \(\text{B}\), и только половина из них удовлетворяют этому условию (00, 16, 24, 32, 48, 56, 64, 72, 88, 96), всего у нас \(10\times 9=90\) двузначных чисел, делящихся на 8.
- Для чисел, делящихся на 9, нужно так, чтобы сумма всех цифр была кратна 9. Мы уже рассмотрели числа, которые делятся на 3, и знаем, что таких чисел \(216\). Все числа, делящиеся на 9, должны делиться и на 3, поэтому мы просто выбираем количество чисел, делящихся нацело, из меньшего списка. Таким образом, у нас \(216\) чисел, делящихся на 9.

Теперь, чтобы найти вероятность выбора случайного двузначного числа, которое делится нацело, мы суммируем количество чисел, которые делятся нацело, и делим на общее количество двузначных чисел:

\[
\frac{{90 + 45 + 216 + 18 + 18 + 45 + 12 + 90 + 216}}{{90}} = \frac{{750}}{90} = \frac{25}{3} \approx 8.33\%
\]

Таким образом, вероятность выбора случайного двузначного числа, которое делится нацело, составляет примерно \(8.33\%\) или \(\frac{25}{3}\).