Яку значення має перший член арифметичної прогресії, якщо десятий член дорівнює -30 і сума перших десяти членів

Donna

27

Добро пожаловать в наш урок, где мы будем решать задачу по арифметическим прогрессиям!

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же константы (шага) к предыдущему члену. Пусть первый член прогрессии равен \(a\), а шаг равен \(d\).

Итак, по условию задачи нам дано, что десятый член прогрессии равен -30, то есть \(a_{10} = -30\). Также нам известно, что сумма первых десяти членов равна -20, то есть \(\sum_{n=1}^{10} a_n = -20\).

Поскольку нам нужно определить первый член прогрессии, воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - шаг прогрессии.

Для нашей задачи, где \(n = 10\), у нас есть значение \(a_{10}\) и искомое значение \(a\). Подставим эти значения в формулу:

\[-30 = a + (10-1)d\]

Также у нас есть информация о сумме первых десяти членов, которая равна -20. Для этого мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

Подставим значения в эту формулу и решим уравнение:

\[-20 = \frac{10}{2}(2a + (10-1)d)\]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными \(a\) и \(d\). Решим ее.

Решение системы:
\[
\begin{cases}
-30 = a + 9d \\
-20 = 5(2a + 9d)
\end{cases}
\]

Раскроем скобки во втором уравнении и приведем подобные члены:

\[
\begin{cases}
-30 = a + 9d \\
-20 = 10a + 45d
\end{cases}
\]

Приведем второе уравнение к более удобному виду:

\[
\begin{cases}
-30 = a + 9d \\
2a + 9d = -20
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод сложения. Но я выберу метод сложения для этого решения.

Умножим первое уравнение на 2:

\[
\begin{cases}
-60 = 2a + 18d \\
2a + 9d = -20
\end{cases}
\]

Вычтем из первого уравнения второе:

\[
9d - 9d = -20 - (-60) \\
0 = 40
\]

Мы получили противоречие в наших уравнениях. Если после решения системы уравнений получается противоречие, это означает, что задача имеет некорректные данные или не имеет решения.

Таким образом, ответ на задачу "Какое значение имеет первый член арифметической прогрессии?" в данном случае невозможно определить из предоставленных условий задачи.