Является ли функция F(x) первообразной для функции f(x) на указанном промежутке: F(x)=x^15; f(x)=15x^16, x∈R. Ответ

Sladkaya_Siren

43

Функция \(F(x) = x^{15}\) не является первообразной для функции \(f(x) = 15x^{16}\) на указанном промежутке \(x \in \mathbb{R}\).

Для того чтобы проверить, является ли функция \(F(x)\) первообразной для \(f(x)\), необходимо вычислить производную функции \(F(x)\) и сравнить ее с функцией \(f(x)\).

Производная функции \(F(x)\) равна:
\[F"(x) = 15x^{14}\]

Если \(F(x)\) является первообразной функцией для \(f(x)\), то должно выполняться равенство:
\[F"(x) = f(x)\]

Подставим функции \(F"(x)\) и \(f(x)\) и проверим это равенство:
\[15x^{14} \stackrel{?}{=} 15x^{16}\]

Мы можем заметить, что степень \(x\) в выражении \(15x^{14}\) меньше, чем в выражении \(15x^{16}\). Следовательно, функция \(F(x) = x^{15}\) не является первообразной для функции \(f(x) = 15x^{16}\) на указанном промежутке \(x \in \mathbb{R}\).

Поэтому, ответ на задачу: Нет.

Теперь рассмотрим вторую задачу.

Функция \(F(x) = \sin(7x)\) является первообразной для функции \(f(x) = 7\cos(12x)\) на указанном промежутке \(x \in \mathbb{R}\).

Для проверки, вычислим производную функции \(F(x)\) и сравним ее с функцией \(f(x)\).

Производная функции \(F(x)\) равна:
\[F"(x) = 7\cos(7x)\]

Если \(F(x)\) является первообразной функцией для \(f(x)\), то должно выполняться равенство:
\[F"(x) = f(x)\]

Подставим функции \(F"(x)\) и \(f(x)\) и проверим это равенство:
\[7\cos(7x) \stackrel{?}{=} 7\cos(12x)\]

Мы можем заметить, что функции \(7\cos(7x)\) и \(7\cos(12x)\) равны друг другу. Следовательно, функция \(F(x) = \sin(7x)\) является первообразной для функции \(f(x) = 7\cos(12x)\) на указанном промежутке \(x \in \mathbb{R}\).

Поэтому, ответ на задачу: Да.

Теперь рассмотрим третью задачу.

Дана функция \(f(x) = 7 - 6\sin(8x)\).

Чтобы найти общий вид первообразной функции \(f(x)\), мы должны найти такую функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\).

Производная функции \(F(x)\) будет:
\[F"(x) = 7x - 6\cdot\frac{\cos(8x)}{8}\]

Для нахождения самой функции \(F(x)\) нужно интегрировать \(F"(x)\):
\[F(x) = \int (7x - 6\cdot\frac{\cos(8x)}{8}) \, dx\]

Вычисляя интеграл, получим:
\[F(x) = \frac{7}{2}x^2 - \frac{6}{8}\cdot\frac{\sin(8x)}{8} + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной функции \(f(x)\) равен:
\[F(x) = \frac{7}{2}x^2 - \frac{3}{32}\sin(8x) + C\]

Надеюсь, что данное объяснение является понятным для вас. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!