Является ли верным утверждение о том, что значение функции f(ctg5x) равно 1/cos^2(5x)?

Чудесный_Король

66

Для начала, давайте разберемся с тем, какое значение имеет функция \(f(x)\). После этого, мы сможем увидеть, является ли утверждение о верности функции \(f(\text{ctg}(5x)) = \frac{1}{{\cos}^2(5x)}\) истинным.

Функция \(f(x)\) является композицией двух функций: одной внешней функции \(f(x)\), и вложенной функции \(g(x)\). Поэтому мы можем записать \(f(x) = f(g(x))\). В данном случае, в \(\text{ctg}(5x)\) мы имеем вложенную функцию \(g(x) = \text{ctg}(5x)\), а внешняя функция \(f(x)\) не была задана.

Сначала, давайте выразим \(\text{ctg}(5x)\) через другие тригонометрические функции. Мы знаем, что \(\text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tan}(x)}\). Поэтому, чтобы найти \(\text{ctg}(5x)\), мы можем взять обратный тангенс от \(\tan(5x)\).

Теперь, чтобы решить эту задачу, нам пригодятся несколько основных тригонометрических тождеств. Одно из таких тождеств - это \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). Если мы разделим это тождество на \(\cos^2(x)\), мы получим \(\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} + \tan^2(x)\). После этого, мы можем переписать \(\tan^2(x)\) и \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) в виде \(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\). Теперь, мы имеем \(\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\). Сокращая числители, мы получаем \(1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\).

Теперь, вернемся к нашему выражению для \(\text{ctg}(5x)\). Мы знаем, что \(\text{ctg}(5x) = \frac{1}{\tan(5x)}\). Давайте возьмем обратный тангенс от \(\frac{1}{\tan(5x)}\). Мы получим \(\arctan(\frac{1}{\tan(5x)})\).

Теперь, давайте используем наше тригонометрическое тождество и преобразуем наше выражение. Заменим \(x\) на \(5x\) в нашем тождестве: \(1 + \tan^2(5x) = \frac{1}{\cos^2(5x)} + \frac{\sin^2(5x)}{\cos^2(5x)}\). Теперь, заменим \(\tan(5x)\) в нашем тождестве на \(\frac{1}{\text{ctg}(5x)}\): \(1 + \frac{1}{{\text{ctg}}^2(5x)} = \frac{1}{\cos^2(5x)} + \frac{\sin^2(5x)}{\cos^2(5x)}\).

Таким образом, после всех преобразований мы получаем: \(1 + \frac{1}{{\text{ctg}}^2(5x)} = \frac{1}{\cos^2(5x)} + \frac{\sin^2(5x)}{\cos^2(5x)}\).

Теперь, давайте сравним это выражение с утверждением \(f(\text{ctg}(5x)) = \frac{1}{{\cos}^2(5x)}\). Обратите внимание, что утверждение предполагает, что \(f(x) = \frac{1}{{\cos}^2(x)}\) для любого значения \(x\), включая \(x = \text{ctg}(5x)\). Однако, мы видим, что в нашем преобразованном выражении существует дополнительный член \(1\). Таким образом, утверждение неверно.

В итоге, мы можем сделать вывод, что утверждение \(f(\text{ctg}(5x)) = \frac{1}{{\cos}^2(5x)}\) неверно. Оно не соответствует полученному выражению \(1 + \frac{1}{{\text{ctg}}^2(5x)} = \frac{1}{\cos^2(5x)} + \frac{\sin^2(5x)}{\cos^2(5x)}\).