Являющиеся длинами трех ребер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, равны 6 см, 6 см и

Hrustal_9149

32

Чтобы построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины ребер, мы можем использовать следующий подход.

1. Найдем координаты середины каждого из трех ребер.
Для первого ребра, координаты середины будут (3, 0, 0) (поскольку длина этого ребра 6 см, и оно направлено вдоль оси x).
Для второго ребра, координаты середины будут (0, 3, 0) (также длина 6 см, направление - вдоль оси y).
Для третьего ребра, координаты середины будут (0, 0, 4) (длина 8 см, направление - вдоль оси z).

2. Построим плоскость, проходящую через эти три точки. Найдем векторное произведение пары векторов, образованных этими точками:
Вектор AB = (3, 0, 0) - (0, 3, 0) = (3, -3, 0)
Вектор AC = (3, 0, 0) - (0, 0, 4) = (3, 0, -4)

Вычислим векторное произведение:
Векторное произведение AB и AC = (3, -3, 0) x (3, 0, -4) = ((-12, -12, 9)

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости, проходящей через середины ребер.

3. Запишем уравнение плоскости в параметрической форме. Пусть x, y и z - параметры точек на плоскости.
Уравнение плоскости: -12x - 12y + 9z + d = 0

Поскольку плоскость проходит через середины ребер, примем точку (3, 0, 0) и подставим ее в уравнение:
-12*3 - 12*0 + 9*0 + d = 0
-36 + d = 0
d = 36

Таким образом, искомое уравнение плоскости:
-12x - 12y + 9z + 36 = 0

4. Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, воспользуемся формулой площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения двух его сторон.

Так как плоскость проходит через середины трех ребер, она разделяет параллелепипед на шесть одинаковых треугольников.

Найдем векторное произведение AB и AC, где
AB = (3, -3, 0) и AC = (3, 0, -4) (как было найдено ранее):
Векторное произведение AB и AC = ((-12, -12, 9)
Модуль вектора (-12, -12, 9) равен \(\sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 9^2} = \sqrt{360} \approx 18.97\)

Так как треугольник состоит из половины векторного произведения сторон AB и AC, то площадь одного треугольника будет равна:
\(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 18.97 = 9.485\)

Поскольку плоскость делит параллелепипед на шесть таких треугольников, общая площадь сечения будет:
\(S_{\text{сечения}} = 6 \cdot 9.485 = 56.91 \, \text{см}^2\)

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины ребер длиной 6 см, 6 см и 8 см, равна 56.91 квадратным сантиметрам.