Являются ли следующие пары чисел решением системы неравенств x(x+4) ≤ y-3 и y+x < 0: (2; 0), (- корень из 2; корень

Сэр

37

Давайте рассмотрим систему неравенств по отдельности.

Неравенство 1: \(x(x+4) \leq y-3\)

Для начала, посмотрим на график данного неравенства. Чтобы нарисовать график, заменим неравенство на уравнение и найдем его график:
\[x(x+4) = y - 3\]

Теперь построим график уравнения:
\[
\begin{align*}
y &= x^2 + 4x + 3 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-5 & 13 \\
-4 & 7 \\
-3 & 3 \\
-2 & 1 \\
-1 & 1 \\
0 & 3 \\
1 & 7 \\
\end{array}
\end{align*}
\]

На графике видно, что график уравнения \(y = x^2 + 4x + 3\) является параболой и открывается вверх. График пересекает ось ординат в точке (0, 3).

Теперь, вернемся к неравенству \(x(x+4) \leq y - 3\).

Рассмотрим каждую пару чисел из задачи и подставим их в данное неравенство для проверки.

Пара чисел (2; 0):
\[2(2+4) = 12 \leq 0 - 3\]
\[12 \leq -3\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (- корень из 2; корень из 2):
\[- \sqrt{2}(- \sqrt{2}+4) = 2\sqrt{2} \leq \sqrt{2} - 3\]
\[2\sqrt{2} \leq -\sqrt{2} - 3\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-1; 1/2):
\[-1(-1+4) = 3 \leq \frac{1}{2} - 3\]
\[3 \leq \frac{1}{2} - 3\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-2, -1/2):
\[-2(-2+4) = 4 \leq -\frac{1}{2} - 3\]
\[4 \leq -\frac{1}{2} - 3\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-3, 1):
\[-3(-3+4) = 3 \leq 1 - 3\]
\[3 \leq 1 - 3\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-1, 3):
\[-1(-1+4) = 3 \leq 3 - 3\]
\[3 \leq 3 - 3\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Итак, для всех предложенных пар чисел \( (2; 0), (- \sqrt{2}; \sqrt{2}), (-1; \frac{1}{2}), (-2, - \frac{1}{2}), (-3,1), (-1,3) \), утверждение неравенства \(x(x+4) \leq y - 3\) не выполняется.

Перейдем к рассмотрению второго неравенства.

Неравенство 2: \(y+x < 0\)

Теперь, проверим каждую пару чисел из задачи на удовлетворение данного неравенства:

Пара чисел (2; 0):
\[0 + 2 < 0\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (- корень из 2; корень из 2):
\[\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) < 0\]

Утверждение неравенства выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-1; 1/2):
\[\frac{1}{2} + (-1) < 0\]

Утверждение неравенства выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-2, -1/2):
\[-\frac{1}{2} + (-2) < 0\]

Утверждение неравенства выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-3, 1):
\[1 + (-3) < 0\]

Утверждение неравенства не выполняется для данной пары чисел.

Пара чисел (-1, 3):
\[3 + (-1) < 0\]

Утверждение неравенства выполняется для данной пары чисел.

Итак, из всех предложенных пар чисел \( (2; 0), (- \sqrt{2}; \sqrt{2}), (-1; \frac{1}{2}), (-2, - \frac{1}{2}), (-3,1), (-1,3) \), только для пар чисел \( (- \sqrt{2}; \sqrt{2}), (-1; \frac{1}{2}), (-2, - \frac{1}{2}), (-1,3) \) утверждение неравенства \(y+x < 0\) выполняется.

Таким образом, общее решение данной системы неравенств не существует, так как ни одна пара чисел не удовлетворяет обоим неравенствам одновременно.