З якої висоти було кинуте тіло, якщо дальність його польоту в горизонтальному напрямі дорівнює висоті кидання?

Magiya_Morya

48

Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

По условию задачи, у нас есть тело, которое было брошено. Допустим, оно было брошено с высоты \(h\) (в метрах). Дальность его полета в горизонтальном направлении равна этой же высоте \(h\).

Таким образом, нам нужно найти значение высоты \(h\), с которой было брошено тело.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой для горизонтального полета тела без учета сопротивления воздуха:

\[D = v_0 \cdot t\]

где \(D\) - дальность полета, \(v_0\) - начальная скорость тела, \(t\) - время полета.

Так как дальность полета равна высоте кидания, получаем:

\[h = v_0 \cdot t\]

Теперь обратимся к вертикальному движению тела. Вертикальное движение тела описывается законом свободного падения:

\[h = \frac{1}{2} g \cdot t^2\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (приближенное значение \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\)).

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих высоту \(h\) и время полета \(t\):

\[h = v_0 \cdot t\]
\[h = \frac{1}{2} g \cdot t^2\]

Из первого уравнения можно выразить время полета:

\[t = \frac{h}{v_0}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[h = \frac{1}{2} g \cdot \left(\frac{h}{v_0}\right)^2\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[h = \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2} \cdot h^2\]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2} \cdot h^2 - h = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(h\). Используем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

\[a = \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2}\]
\[b = -1\]
\[c = 0\]

Применяя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), получим:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2}\right) \cdot 0\]
\[D = 1\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, имеем два корня:

\[h_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[h_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[h_1 = \frac{1 + \sqrt{1}}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2}\right)}\]
\[h_2 = \frac{1 - \sqrt{1}}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2}\right)}\]

Сократим:

\[h_1 = \frac{1 + 1}{\frac{g}{v_0^2}} = \frac{2v_0^2}{g}\]
\[h_2 = \frac{1 - 1}{\frac{g}{v_0^2}} = 0\]

Таким образом, есть два возможных значения высоты, с которых можно бросить тело так, чтобы его дальность полета равнялась высоте: \(h_1 = \frac{2v_0^2}{g}\) и \(h_2 = 0\).

Однако у нас не указано, что высота броска должна быть ненулевой. Поэтому можем сказать, что изначально тело было брошено с высоты \(h_2 = 0\).