За сколько лет количество кабанов в заповеднике увеличится не менее чем в 1,5 раза, если их популяция каждый

Raduga_Na_Nebe

7

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу экспоненциального роста.

Пусть \(x\) - количество лет, через которое количество кабанов увеличится в 1,5 раза. Если популяция кабанов каждый год увеличивается на 10%, то мы можем записать это в виде:
\[1 + 0.1=1.1\]

Затем воспользуемся формулой экспоненциального роста:
\[K = P \cdot (1 + r)^n\]

Где:
- \(K\) - конечное количество кабанов (1,5P в данном случае)
- \(P\) - начальное количество кабанов
- \(r\) - процентный прирост (10% в данном случае)
- \(n\) - количество лет

Наши известные значения в данной задаче:
- \(P\) - количество кабанов в начале (неизвестное значение)
- \(r = 0.1\) - процентный прирост
- \(n = x\) - количество лет, через которое количество кабанов увеличится в 1,5 раза

Определим уравнение для нахождения значения \(P\):
\[1.5P = P \cdot (1 + 0.1)^x\]

Для решения этого уравнения нам пригодится логарифмирование. Применяя логарифм по основанию 10 к обеим частям уравнения, получим:
\[\log(1.5P) = \log(P \cdot (1 + 0.1)^x)\]

Применим свойство логарифмов, которое гласит, что \(\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)\), получим:
\[\log(1.5P) = \log(P) + \log((1 + 0.1)^x)\]

Теперь мы можем использовать еще одно свойство логарифмов: \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\), чтобы переписать уравнение в следующем виде:
\[\log(1.5P) = \log(P) + x \cdot \log(1.1)\]

Теперь мы можем избавиться от логарифмов, найдя значения обоих частей уравнения:
\[1.5P = P \cdot (1.1)^x\]

Упростив выражение, получим:
\[1.5 = 1.1^x\]

Чтобы найти значение \(x\), мы возведем обе части уравнения в натуральный логарифм:
\[\ln(1.5) = \ln(1.1^x)\]

Используя свойство логарифмов \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\), получим:
\[\ln(1.5) = x \cdot \ln(1.1)\]

Теперь мы можем решить это уравнение, разделив обе части на \(\ln(1.1)\):
\[x = \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.1)}\]

Подставим числа в эту формулу, рассчитаем значение \(x\):

\[x \approx \frac{0.4054651081081644}{0.09531017980432493} \approx 4.26\]

Значит, понадобится примерно 4.26 года (или около 4 лет и 3 месяца), чтобы количество кабанов увеличилось не менее чем в 1,5 раза.