За яких значень x числа x-3, x+1, 4x+9 є послідовними членами геометричної прогресії? Негайно прошу

Snegir

68

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

Для того чтобы числа \(x-3\), \(x+1\) и \(4x+9\) были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться условие отношения равенства между любыми двумя последовательными членами.

Пусть первый член прогрессии будет \(a\), а знаменатель прогрессии будет \(q\) (знаменатель - это число, на которое каждый последующий член прогрессии делится, чтобы получить предыдущий член).

Теперь давайте определим первый член и знаменатель в нашей задаче:

Первый член: \(a = x-3\)

Знаменатель: \(q = \frac{{(x+1)}}{{(x-3)}}\) (Отношение между вторым и первым членами)

Теперь, чтобы проверить, являются ли числа последовательными членами геометрической прогрессии, нам нужно сравнить отношение между вторым и первым членами с отношением между третьим и вторым членами, используя знаменатель \(q\):

\(\frac{{(x+1)}}{{(x-3)}} = \frac{{(4x+9)}}{{(x+1)}}\)

Теперь решим уравнение:

\((x+1)^2 = (4x+9)(x-3)\)

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 12x + 9x - 27\)

Теперь соберем все переменные на одной стороне уравнения:

\(0 = 3x^2 - 23x - 28\)

Для решения этого квадратного уравнения нам понадобится факторизация или использование формулы дискриминанта.

Если мы применим формулу дискриминанта, получим:

\(D = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 529 + 336 = 865\)

Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня:

\(x_1 = \frac{{-(-23) + \sqrt{865}}}{{2 \cdot 3}}\)

\(x_2 = \frac{{-(-23) - \sqrt{865}}}{{2 \cdot 3}}\)

Вычислим эти значения:

\(x_1 = \frac{{23 + \sqrt{865}}}{{6}}\)

\(x_2 = \frac{{23 - \sqrt{865}}}{{6}}\)

Таким образом, числа \(x-3\), \(x+1\) и \(4x+9\) будут последовательными членами геометрической прогрессии, когда \(x\) равно \(\frac{{23 + \sqrt{865}}}{{6}}\) или \(\frac{{23 - \sqrt{865}}}{{6}}\)