За якого значення х вирази 4х + 5, 7х - 1 і х^2 + 2 будуть утворювати послідовні члени арифметичної прогресії? Знайдіть

Ledyanaya_Skazka_6108

21

Щоб з"ясувати, за якого значення \(x\) вирази \(4x + 5\), \(7x - 1\) і \(x^2 + 2\) утворюватимуть послідовні члени арифметичної прогресії, нам потрібно встановити, що різниця між будь-якими двома сусідніми виразами є постійною.

Спочатку, знайдемо різницю між першим і другим виразами:

\[d_1 = (7x - 1) - (4x + 5)\]

\[d_1 = 7x - 1 - 4x - 5\]

\[d_1 = 3x - 6\]

Тепер, знайдемо різницю між другим і третім виразами:

\[d_2 = (x^2 + 2) - (7x - 1)\]

\[d_2 = x^2 + 2 - 7x + 1\]

\[d_2 = x^2 - 7x + 3\]

Щоб ці різниці були постійними, \(d_1\) має дорівнювати \(d_2\):

\[3x - 6 = x^2 - 7x + 3\]

Щоб розв"язати це рівняння, переведемо його до квадратного вигляду:

\[0 = x^2 - 10x + 9\]

Ми можемо спростити це рівняння, щоб отримати:

\[(x - 9)(x - 1) = 0\]

Звідси, ми бачимо, що \(x = 9\) або \(x = 1\).

Отже, коли \(x = 9\) або \(x = 1\), вирази \(4x + 5\), \(7x - 1\) і \(x^2 + 2\) утворюватимуть послідовні члени арифметичної прогресії.

Тепер знайдемо ці члени прогресії:

Коли \(x = 9\):
\[4x + 5 = 4(9) + 5 = 36 + 5 = 41\]
\[7x - 1 = 7(9) - 1 = 63 - 1 = 62\]
\[x^2 + 2 = 9^2 + 2 = 81 + 2 = 83\]

Коли \(x = 1\):
\[4x + 5 = 4(1) + 5 = 4 + 5 = 9\]
\[7x - 1 = 7(1) - 1 = 7 - 1 = 6\]
\[x^2 + 2 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3\]

Отже, коли \(x = 9\), члени арифметичної прогресії будуть 41, 62 і 83. А коли \(x = 1\), члени будуть 9, 6 і 3.