Задача 4. Сравниваются четыре способа обработки изделий. Какой из них считается лучшим, определяется по меньшей

Як

60

распределение контролируемого параметра при каждом способе обработки изделий.

Для решения этой задачи воспользуемся критерием Фишера для проверки равенства дисперсий двух выборок. Нулевая гипотеза состоит в том, что все способы обработки изделий имеют одинаковую дисперсию. Альтернативная гипотеза заключается в том, что дисперсии различны.

Для начала рассчитаем выборочную дисперсию для четвертого способа обработки изделий. Для этого мы будем использовать следующую формулу:

\[
S^2=\frac{\sum{(x_i-\overline{x})^2}}{n-1}
\]

Где \(S^2\) - выборочная дисперсия, \(x_i\) - значения контролируемого параметра, \(\overline{x}\) - выборочное среднее значение контролируемого параметра, \(n\) - количество изделий.

Для первого способа обработки изделий, имеем:

\(n_1 = 14\), \(S_1^2 = 26\)

Для второго способа обработки изделий, имеем:

\(n_2 = 21\), \(S_2^2 = 39\)

Для третьего способа обработки изделий, имеем:

\(n_3 = 22\), \(S_3^2 = 48\)

Теперь рассчитаем выборочную дисперсию для четвертого способа обработки изделий. Пусть \(n_4 = x\) (неизвестное количество изделий) и \(S_4^2 = 31\). Тогда имеем:

\[
S_4^2 = \frac{(n_4 - 1)S_4^2 + (n_4)S_4^2}{n_4 + n_4 - 1}
\]

\[
S_4^2 = \frac{2n_4 S_4^2}{2n_4 - 1}
\]

Решив данное уравнение относительно \(n_4\), найдем значение неизвестного количества изделий \(n_4\):

\[
S_4^2(2n_4 - 1)=2n_4 S_4^2
\]

\[
S_4^2=2n_4 S_4^2 - S_4^2
\]

\[
S_4^2=n_4 S_4^2
\]

\[
n_4 = \frac{S_4^2}{S_4^2}=1
\]

Таким образом, получаем, что для четвертого способа обработки изделий имеется всего 1 изделие.

Далее, для проверки гипотезы о равенстве дисперсий используем статистику Фишера:

\[
F=\frac{S_1^2}{S_4^2}
\]

Для значимости \(0.05\) и количества степеней свободы \(df_1 = n_1 - 1 = 14 - 1 = 13\) и \(df_2 = n_4 - 1 = 1 - 1 = 0\), найдем критическое значение \(F_{crit}\) из таблицы критических значений распределения Фишера.

Если полученное значение статистики Фишера \(F\) превышает критическое значение \(F_{crit}\), то мы отклоняем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий и считаем, что способы обработки изделий имеют различные дисперсии.

Если \(F\) меньше или равно \(F_{crit}\), то мы не можем отклонить нулевую гипотезу и делаем вывод, что способы обработки изделий имеют равные дисперсии.

Давайте теперь произведем расчеты:

\[
F = \frac{S_1^2}{S_4^2} = \frac{26}{31} \approx 0.839
\]

В таблице распределения Фишера найдем значение \(F_{crit}\) для \(df_1 = 13\) и \(df_2 = 0\) при уровне значимости \(0.05\). Значение \(F_{crit}\) равно примерно 7.26.

Так как полученное значение \(F\) (0.839) меньше \(F_{crit}\) (7.26), мы не можем отклонить нулевую гипотезу и делаем вывод, что способы обработки изделий могут иметь равные дисперсии.

Теперь давайте рассмотрим второй вопрос: можно ли считать первый способ обработки изделий лучшим?

Для ответа на этот вопрос, мы можем сравнить выборочное среднее значение контролируемого параметра для каждого из способов обработки изделий. Обычно, наилучшим считается способ с наименьшим выборочным средним значением, так как это означает наименьшую среднюю величину контролируемого параметра.

Для первого способа обработки изделий само выборочное среднее значение не дано в условии задачи. Поэтому мы не можем сравнить его с другими выборочными средними значениями контролируемого параметра.

Таким образом, на основе предоставленных данных мы не можем однозначно сказать, является ли первый способ обработки изделий лучшим.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как решить данную задачу. Желаю успехов в учебе!