Задана последовательность: yn=1−1/2n. 1. Определите, является ли последовательность монотонной: да или нет? 2. Укажите

  • 36
Задана последовательность: yn=1−1/2n. 1. Определите, является ли последовательность монотонной: да или нет? 2. Укажите тип монотонности: последовательность монотонно неубывает, последовательность монотонно убывает, последовательность немонотонна. 3. Определите соотношение, которое верно для данной последовательности: yn>yn+1 и yn+1yn+1, yn
Донна
16
Хорошо! Рассмотрим заданную последовательность yn=112n.

1. Для определения монотонности последовательности необходимо проверить, удовлетворяет ли каждый следующий элемент условию монотонности по отношению к предыдущему элементу. Для этого вычислим разность yn+1yn:
yn+1yn=(112n+1)(112n).
Выполняем вычисления:
yn+1yn=12n12n+1=12n12n2=12n(112)=12n+1.

2. Теперь проанализируем знак разности yn+1yn.
Полученная разность положительна: 12n+1>0 при любом n, так как 2n+1 является положительным числом.
Следовательно, последовательность yn является монотонно неубывающей.

3. Чтобы определить соотношение, истинное для данной последовательности, сравним yn с yn+1.

Вычислим разность ynyn+1:
ynyn+1=(112n)(112n+1).
Выполняем вычисления:
ynyn+1=12n12n+1=12n(112)=12n12=12n+1.

Так как ynyn+1=12n+1>0, можно заключить, что yn>yn+1.

Соотношение, истинное для данной последовательности, имеет вид yn>yn+1.