Задана последовательность: yn=1−1/2n. 1. Определите, является ли последовательность монотонной: да или нет? 2. Укажите

Донна

16

Хорошо! Рассмотрим заданную последовательность \(y_n = 1 - \frac{1}{2^n}\).

1. Для определения монотонности последовательности необходимо проверить, удовлетворяет ли каждый следующий элемент условию монотонности по отношению к предыдущему элементу. Для этого вычислим разность \(y_{n+1} - y_n\):
\[y_{n+1} - y_n = \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right).\]
Выполняем вычисления:
\[y_{n+1} - y_n = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2^n} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2^{n+1}}.\]

2. Теперь проанализируем знак разности \(y_{n+1} - y_n\).
Полученная разность положительна: \(\frac{1}{2^{n+1}} > 0\) при любом \(n\), так как \(2^{n+1}\) является положительным числом.
Следовательно, последовательность \(y_n\) является монотонно неубывающей.

3. Чтобы определить соотношение, истинное для данной последовательности, сравним \(y_n\) с \(y_{n+1}\).

Вычислим разность \(y_n - y_{n+1}\):
\[y_n - y_{n+1} = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right).\]
Выполняем вычисления:
\[y_n - y_{n+1} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^n} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{n+1}}.\]

Так как \(y_n - y_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} > 0\), можно заключить, что \(y_n > y_{n+1}\).

Соотношение, истинное для данной последовательности, имеет вид \(y_n > y_{n+1}\).