Запишите первым числом больший корень, а вторым числом - меньший, решив уравнение x4=(4x−21)2

Александра

53

Дано уравнение \(x^4 = (4x - 21)^2\). Чтобы найти корни этого уравнения, выполним следующие шаги:

1. Раскроем квадрат в правой части уравнения:
\[x^4 = (4x - 21)(4x - 21)\]

2. Раскроем скобки, применяя правило \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\[x^4 = 16x^2 - 168x + 441\]

3. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
\[x^4 - 16x^2 + 168x - 441 = 0\]

4. Факторизуем полученное уравнение в качестве \((x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)\) исходя из соотношений суммы корней и их произведения:
\[x^4 - 16x^2 + 168x - 441 = (x^2 + mx + n)(x^2 + px + q)\]

5. Раскроем скобки, применяя правило распределения:
\[x^4 - 16x^2 + 168x - 441 = x^4 + (m+p)x^3 + (n+q+mp)x^2 + (mq+np)x + nq\]

6. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в левой и правой частях полученного уравнения:
\[
\begin{align*}
m + p &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x^3 \text{)} \\
n + q + mp &= -16 \quad \text{(коэффициент при } x^2 \text{)} \\
mq + np &= 168 \quad \text{(коэффициент при } x \text{)} \\
nq &= -441 \quad \text{(свободный член)}
\end{align*}
\]

7. Решим получившуюся систему уравнений методом подбора и решения системы:
\[m = 4, p = -4, n = -21, q = 21\]

8. Подставим найденные значения коэффициентов \(m, p, n, q\) в разложение:
\[x^4 - 16x^2 + 168x - 441 = (x^2 + 4x - 21)(x^2 - 4x + 21)\]

9. Установим два выражения, стоящих в скобках, равными нулю и решим их:

\(x^2 + 4x - 21 = 0\):
\[D_1 = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\]
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{D_1}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}\]
\[x_1 = 3, x_2 = -7\]

\(x^2 - 4x + 21 = 0\):
\[D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 - 84 = -68\]
\[\text{Так как } D_2 < 0, \text{ нет действительных корней}\]

10. Получили два корня для уравнения \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -7\). В итоге, первое число больше корня (\(x_1 = 3\)), а второе число меньше корня (\(x_2 = -7\)), что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: первое число - 3, второе число - (-7).