Завдання 8. Формула f(x) = b^2 - 4bx - 32x^3 задає функцію, де b є сталою. 1) Переформулюйте формулу для первісних

Рыжик

50

Щоб вирішити цю задачу, почнемо з переформулювання формули для первісної функції \( F(x) \). Застосуємо формулу для знаходження первісної виразу кожної складової функції \( f(x) \):

\[
\int b^2 \,dx = \dfrac{b^2}{1}x + C_1 = b^2x + C_1
\]

\[
\int 4bx \,dx = \dfrac{4b}{2}x^2 + C_2 = 2bx^2 + C_2
\]

\[
\int 32x^3 \,dx = \dfrac{32}{4}x^4 + C_3 = 8x^4 + C_3
\]

Де \( C_1, C_2, C_3 \) - довільні константи.

Таким чином, первісна функція \( F(x) \) буде:

\[
F(x) = b^2x + 2bx^2 + 8x^4 + C
\]

Де \( C \) - також довільна константа.

Тепер перейдемо до другої частини задачі. Знайдемо множину значень \( b \), для яких виконується нерівність \( F(x) \geq 0 \). Для цього розглянемо коефіцієнти перед кожною змінною у функції \( F(x) \):

\[
b^2 \geq 0
\]
\[
2b \geq 0
\]
\[
8 \geq 0
\]

Для того, щоб нерівність \( F(x) \geq 0 \) була виконана, коефіцієнти перед кожною змінною мають бути невід"ємними. Таким чином, множина значень \( b \) буде:

\[
b \geq 0
\]

Або, в інших словах, \( b \) може бути будь-яким невід"ємним числом чи нулем.

Таким чином, перша частина завдання полягає в переформулюванні формули для первісної функції \( F(x) \) як:

\[
F(x) = b^2x + 2bx^2 + 8x^4 + C
\]

Друга частина завдання вимагає знайти множину значень \( b \), які задовольняють нерівність \( F(x) \geq 0 \), яка є \( b \geq 0 \).