Знайдіть площу бічної поверхні конуса, отриманого внаслідок повороту прямокутного трикутника навколо його протилежного

Mark

14

Щоб знайти площу бічної поверхні конуса, отриманого внаслідок повороту прямокутного трикутника навколо його протилежного катету, треба спочатку знайти довжину оберненої лінії, яку описує катет трикутника після повороту.

Довжина оберненої лінії може бути знайдена за допомогою формули для довжини кривої, отриманої при повороті лінії навколо осі. У цьому випадку нашою осью буде протилежний катет, а довжину кривої позначимо як \( L \).

За відомими даними, гіпотенуза трикутника \( c \) і один гострий кут \( \alpha \), ми можемо виразити протилежний катет як \( a = c \sin(\alpha) \).

Застосовуючи формулу для довжини кривої при повороті, отримуємо:

\[ L = 2\pi a = 2\pi c \sin(\alpha) \]

Тепер, щоб знайти площу бічної поверхні конуса, ми використовуємо формулу \( S = L \cdot h \), де \( h \) - висота конуса. У нашому випадку висота конуса буде рівна гіпотенузі \( c \).

\[ S = (2\pi c \sin(\alpha))c = 2\pi c^2 \sin(\alpha) \]

Отже, площа бічної поверхні конуса, отриманого внаслідок повороту прямокутного трикутника навколо його протилежного катету, дорівнює \( 2\pi c^2 \sin(\alpha) \).

Ця формула може бути використана для обчислення площі бічної поверхні конуса, коли відомі значення гіпотенузи \( c \) і кута \( \alpha \).