Знайдіть точку на осі абсцис, яка знаходиться на однаковій відстані від точок А(1;3) і В(5;7

Кира

6

Чтобы найти точку на оси абсцис, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(1;3) и В(5;7), мы можем использовать симметрию.

Когда точка находится на одинаковом расстоянии от двух других точек, она находится посередине между ними.

Расстояния между точками можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

В нашем случае, мы знаем координаты точек А(1;3) и В(5;7). Подставим эти значения в формулу расстояния:

\[d_1 = \sqrt{{(5 - 1)^2 + (7 - 3)^2}} = \sqrt{{16 + 16}} = \sqrt{{32}} = 4\sqrt{{2}}\]

\[d_2 = \sqrt{{(x - 1)^2 + (0 - 3)^2}}\]

Так как точка, которую нам нужно найти, находится на оси абсцис, ее ордината равна 0. Теперь мы можем сформулировать уравнение для нахождения этой точки:

\[d_2 = \sqrt{{(x - 1)^2 + (0 - 3)^2}} = 4\sqrt{{2}}\]

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получим:

\[(x - 1)^2 + 9 = 32\]

Разрешив это уравнение, мы получим:

\[x^2 - 2x - 22 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение, и получить два возможных значения для x:

\[x = \frac{{2 \pm \sqrt{{4 + 88}}}}{2}\]

\[x = \frac{{2 \pm \sqrt{{92}}}}{2}\]

\[x = 1 \pm 2\sqrt{{23}}.\]

Таким образом, есть две точки на оси абсцис, которые находятся на одинаковом расстоянии от точек А(1;3) и В(5;7): точка \(1 + 2\sqrt{{23}}\) и точка \(1 - 2\sqrt{{23}}\).