1. А) Как можно сократить дробь 14a4b / 49a3b2? Б) Как изменится дробь 3x / (x2 + 4x)? В) Как упростить дробь (y2

Винни

25

1. А) Для сокращения дроби \(\frac{14a^4b}{49a^3b^2}\) мы можем сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель (НОМ). Найдем НОМ для \(14a^4b\) и \(49a^3b^2\). Разложим каждое выражение на простые множители:

Выражение \(14a^4b\) разлагается на \(2 \cdot 7 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b\).
Выражение \(49a^3b^2\) разлагается на \(7 \cdot 7 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b\).

Теперь мы видим, что у них есть общий множитель \(7 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b\). Мы можем сократить этот общий множитель из числителя и знаменателя:

\[\frac{14a^4b}{49a^3b^2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b}{7 \cdot 7 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b} = \frac{2}{7}\]

Ответ: \(\frac{2}{7}\).

Б) Для изменения дроби \(\frac{3x}{x^2 + 4x}\) нам нужно выполнить простейшую операцию по факторизации. Выражение \(x^2 + 4x\) можно факторизовать, вынеся общий множитель \(x\):

\(x^2 + 4x = x \cdot (x + 4)\)

Теперь, разделив числитель и знаменатель дроби на \(x\), мы получим:

\(\frac{3x}{x \cdot (x + 4)} = \frac{3}{x + 4}\)

Ответ: \(\frac{3}{x+4}\).

В) Чтобы упростить дробь \(\frac{y^2 - z^2}{2y + 2z}\), нам следует воспользоваться разностью двух квадратов. Разность двух квадратов \(y^2 - z^2\) может быть разложена следующим образом:

\(y^2 - z^2 = (y - z)(y + z)\)

Теперь мы можем сократить общий множитель \((y - z)\) из числителя и знаменателя:

\(\frac{y^2 - z^2}{2y + 2z} = \frac{(y - z)(y + z)}{2(y + z)} = \frac{y - z}{2}\)

Ответ: \(\frac{y - z}{2}\).

2. А) Чтобы представить выражение \(\frac{3x - 1}{x^2} + \frac{x - 9}{3x}\) в виде дроби, нам следует найти общий знаменатель для обеих дробей. Общим знаменателем может быть произведение \(x^2 \cdot 3x = 3x^3\). Раскроем дроби, чтобы они имели общий знаменатель:

\(\frac{(3x - 1) \cdot 3x}{x^2 \cdot 3x} + \frac{(x - 9) \cdot x^2}{3x \cdot x^2}\)

После упрощения получим:

\(\frac{9x^2 - 3x}{3x^3} + \frac{x^3 - 9x^2}{3x^3}\)

Теперь сложим дроби:

\(\frac{9x^2 - 3x + x^3 - 9x^2}{3x^3} = \frac{x^3 - 3x}{3x^3}\)

Ответ: \(\frac{x^3 - 3x}{3x^3}\).

Б) Чтобы записать выражение \(\frac{1}{2a - b} - \frac{1}{2a + b}\) в виде дроби, воспользуемся разностью двух квадратов. Общим знаменателем будет \(2a - b\) и \(2a + b\), и их разность двух квадратов может быть разложена следующим образом:

\((2a - b)(2a + b) = 4a^2 - b^2\)

Теперь, раскроем дроби с использованием полученного разложения:

\(\frac{(2a + b) - (2a - b)}{(2a - b)(2a + b)} = \frac{4a^2 - b^2}{4a^2 - b^2}\)

Получим:

\(\frac{4a^2 - b^2}{4a^2 - b^2} = 1\)

Ответ: 1.

В) Чтобы представить выражение \(\frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c^2}\) в виде дроби, мы должны найти общий знаменатель. Общим знаменателем для двух дробей будет \(c + 3\) и \(c^2\). Дробь \(\frac{5}{c + 3}\) уже имеет нужный знаменатель. Раскроем дробь \(\frac{5c - 2}{c^2}\), чтобы привести ее к общему знаменателю:

\(\frac{5c - 2}{c^2} = \frac{5c - 2}{1 \cdot c^2}\)

Теперь сложим дроби:

\(\frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c^2} = \frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c^2} \cdot \frac{c + 3}{c + 3}\)

\(\frac{5}{c + 3} - \frac{(5c - 2)(c + 3)}{c^2(c + 3)}\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{5}{c + 3} - \frac{5c^2 + 13c - 6}{c^2(c + 3)}\)

Теперь найдем общий знаменатель для обеих дробей:

\(\frac{5 \cdot c^2 - (5c^2 + 13c - 6)}{c^2(c + 3)} = \frac{5c^2 - 5c^2 - 13c + 6}{c^2(c + 3)}\)

\(\frac{-13c + 6}{c^2(c + 3)}\)

Ответ: \(\frac{-13c + 6}{c^2(c + 3)}\).