Докажите, что если значение выражения 2^n+1, где n является натуральным числом, является простым числом, то n равно

Schuka

63

Для того чтобы доказать данное утверждение, давайте разберемся в том, что означают "простое число" и "степень числа".

"Простое число" - это натуральное число больше 1, которое имеет только два делителя: 1 и само себя.

"Степень числа" - это число, получаемое при умножении данного числа на само себя несколько раз.

Итак, давайте предположим, что значение выражения \(2^{n+1}\), где \(n\) - натуральное число, является простым числом. Нашей задачей будет доказать, что в этом случае \(n = 1\) и \(n\) является степенью числа 2.

Для начала заметим, что если \(n\) является степенью числа 2, то \(2^n\) будет иметь всего один множитель 2, так как число 2 будет умножаться на себя \(n\) раз.

Теперь рассмотрим значение выражения \(2^{n+1}\). Поскольку это число является простым, оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. Однако, мы знаем, что любое число, которое получается путем умножения других чисел, должно иметь делители. Так что значение \(2^{n+1}\) может быть только результатом возведения числа 2 в степень. Поэтому это значение должно быть равно \(2^n\) умножить на 2.

Таким образом, мы имеем следующее равенство: \(2^{n+1} = 2^n \cdot 2\)

Теперь давайте посмотрим на правую часть равенства. У нас есть \(2^n\) умножить на 2. Но поскольку значением выражения является простое число, оно не может иметь делителей, кроме 1 и самого себя. Значит, \(2^n\) должно быть равно 1. Но это возможно только при \(n = 0\), так как это эквивалентно \(2^0 = 1\).

Таким образом, мы приходим к выводу, что если значение выражения \(2^{n+1}\), где \(n\) - натуральное число, является простым числом, то \(n = 0\) и \(n\) является степенью числа 2.