1. Четырехугольнике ABCDAB = CD, угол ABD = угол CDB = 25°, угол BDA = 55°. Что такое угол A? а) 70 б) 100 в) 110

Artem

47

1. Чтобы найти угол A в четырехугольнике ABCD, нам нужно использовать свойство суммы углов в четырехугольнике. В четырехугольнике сумма всех внутренних углов равна 360 градусов.

Сначала найдем угол CBD. Поскольку две стороны четырехугольника равны, угол BCD будет равен углу DCB. Так как угол ABD равен углу CDB и равен 25°, то угол CBD тоже будет равен 25°.

Теперь зная угол CBD, мы можем использовать свойство суммы углов в параллельных линиях. Угол ABD и угол CBD оба являются соответственными углами при параллельных прямых AB и CD, поэтому они будут равны. Угол ABD равен 25°.

Окончательно, угол A в четырехугольнике ABCD равен 25°, поскольку он равен углу ABD.

2. Чтобы найти значение CK, нам нужно использовать свойство биссектрисы угла и параллелограмма.

Поскольку биссектриса угла A параллельна стороне BC, мы знаем, что треугольник AMC - подобный ABC, поскольку углы A и C подобны. Мы также знаем, что AM = 12 см. Используя пропорции между сторонами подобных треугольников, мы можем найти BC.

\[\frac{BC}{AC} = \frac{BM}{AM} \Rightarrow \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{AC + 2CK} = \frac{1}{2}\]

Мы знаем, что AC = BC - CK, так как CK - это перпендикуляр из вершины C, а AC - это гипотенуза подобного треугольника. Подставляя это в уравнение и решая его, мы можем найти BC.

\[\frac{BC}{BC - CK + 2CK} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{BC}{BC - CK + 2CK} = \frac{1}{2}\]
\[2BC = BC - CK + 2CK\]
\[BC = 3CK\]

Из условия задачи мы также знаем, что AM = 12 см, поэтому BC = 12 см. Подставляя это в уравнение, мы можем найти значение CK.

\[12 = 3CK\]
\[CK = 4 см\]

Окончательно, значение CK равно 4 см.

3. Чтобы найти периметр четырехугольника AMCK, нам нужно знать значения всех его сторон.

Из условия задачи мы знаем, что сторона BC равна 10 см, сторона AB равна 8 см, и CK равно 7 см. Также мы знаем, что точка M является серединой стороны BC и точка K является серединой стороны AD.

Поскольку AM является медианой треугольника ABC (поскольку M - середина стороны BC), то она разделяет треугольник на два равных треугольника. Значит, сторона AM будет равна половине стороны AB, то есть 4 см.

Чтобы найти сторону CK, нам нужно использовать свойство медианы, разделения стороны пополам. Так как M - середина стороны BC, то KM будет равно половине стороны CK, то есть 3.5 см.

Теперь мы можем найти значение стороны AK с помощью правила параллелограмма. Мы знаем, что сторона AD равна стороне BC, то есть 10 см. Также мы знаем, что точка K является серединой стороны AD, поэтому AK будет равна половине стороны AD, то есть 5 см.

Периметр четырехугольника AMCK будет равен сумме всех его сторон:

\[Perimeter = AM + MC + CK + KA\]
\[Perimeter = 4 + 10 + 7 + 5\]
\[Perimeter = 26 см\]

Окончательно, периметр четырехугольника AMCK будет равен 26 см.