1) Find the values of x that make the expression x2 + 5x – 24 greater than zero. 2) Determine the values of x that

Ivan

12

Задача 1:
Для того чтобы найти значения \(x\), при которых выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля, мы можем использовать метод интервалов. Для начала, найдем корни данного квадратного трехчлена.

Для того чтобы решить уравнение \(x^2 + 5x - 24 = 0\), можно факторизовать его или использовать квадратное уравнение. В данном случае, мы воспользуемся факторизацией:

\(x^2 + 5x - 24 = (x + 8)(x - 3)\).

Таким образом, у нас получаются два значения \(x\), при которых данное уравнение равно нулю: \(x = -8\) и \(x = 3\).

Теперь мы знаем, что график данного квадратного трехчлена имеет форму параболы, открывающейся вверх, и что он пересекает ось \(x\) в точках \(-8\) и \(3\). Мы можем использовать эти значения, чтобы разделить числовую прямую на интервалы и определить, где выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля.

Исследуем интервалы:

1) \(x < -8\): Подставляя \(x = -9\) в выражение \(x^2 + 5x - 24\), мы получаем:
\((-9)^2 + 5(-9) - 24 = 81 - 45 - 24 = 12\).
Так как 12 больше нуля, то на этом интервале выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля.

2) \(-8 < x < 3\): Рассмотрим произвольное значение \(x\) в этом интервале, например, \(x = 0\):
\(0^2 + 5(0) - 24 = -24\).
Так как \(-24\) меньше нуля, выражение \(x^2 + 5x - 24\) на этом интервале меньше нуля.

3) \(x > 3\): Подставляя \(x = 4\) в выражение \(x^2 + 5x - 24\), мы получаем:
\(4^2 + 5(4) - 24 = 16 + 20 - 24 = 12\).
Так как 12 больше нуля, то на этом интервале выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля.

Итак, значения \(x\), при которых выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля, это \(x < -8\) и \(x > 3\). Если \(x\) принадлежит одному из этих интервалов, то это значение удовлетворяет условию задачи.

Задача 2:
Для того чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \((x - 5)(x - 7)(x + 3) < 0\), мы можем использовать метод интервалов. Для начала, найдем точки, где это неравенство равно нулю.

По свойствам неравенств, неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Решим уравнения \(x - 5 = 0\), \(x - 7 = 0\) и \(x + 3 = 0\):

1) \(x - 5 = 0\) => \(x = 5\),
2) \(x - 7 = 0\) => \(x = 7\),
3) \(x + 3 = 0\) => \(x = -3\).

Таким образом, у нас получаются три значения \(x\), при которых неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) равно нулю: \(x = 5\), \(x = 7\) и \(x = -3\).

Теперь мы знаем, что график данного многочлена имеет форму параболы, открывающейся вверх, и что он пересекает ось \(x\) в точках 5, 7 и -3. Мы можем использовать эти значения, чтобы разделить числовую прямую на интервалы и определить, где неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) меньше нуля.

Исследуем интервалы:

1) \(x < -3\): Подставляя \(x = -4\) в неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\), мы получаем:
\((-4 - 5)(-4 - 7)(-4 + 3) = (-9)(-11)(-1) = -99\).
Так как -99 меньше нуля, неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) на этом интервале меньше нуля.

2) \(-3 < x < 5\): Рассмотрим произвольное значение \(x\) в этом интервале, например, \(x = 0\):
\((0 - 5)(0 - 7)(0 + 3) = (-5)(-7)(3) = 105\).
Так как 105 больше нуля, неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) на этом интервале больше нуля.

3) \(5 < x < 7\): Рассмотрим произвольное значение \(x\) в этом интервале, например, \(x = 6\):
\((6 - 5)(6 - 7)(6 + 3) = (1)(-1)(9) = -9\).
Так как -9 меньше нуля, неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) на этом интервале меньше нуля.

4) \(x > 7\): Подставляя \(x = 8\) в неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\), мы получаем:
\((8 - 5)(8 - 7)(8 + 3) = (3)(1)(11) = 33\).
Так как 33 больше нуля, неравенство \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) на этом интервале больше нуля.

Итак, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \((x - 5)(x - 7)(x + 3) < 0\), это \(-3 < x < 5\) и \(7 < x\). Если \(x\) принадлежит одному из этих интервалов, то это значение удовлетворяет условию задачи.